Tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ, chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – Bài tập có đáp án
Phương pháp giải bài toán tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vecto, chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian
| Để tính độ dài đoạn thằng AB ta sử dụng công thức: $AB=left| overrightarrow{AB} right|=sqrt{{{overrightarrow{AB}}^{2}}}$, để tính độ dài vectơ $overrightarrow{u}$ ta sử dung công thức$left| overrightarrow{u} right|=sqrt{{{overrightarrow{u}}^{2}}}$
Để tính góc giữa 2 vectơ ta sử dụng công thức: $cos left( overrightarrow{a};overrightarrow{b} right)=frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|}$ Để chứng minh 2 đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau ta chứng minh: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}=0$ |
Bài tập về vecto trong không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và $BC=asqrt{2}$. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{SC}$. |
Lời giải chi tiết
Do SB = SC = a; $BC=asqrt{2}$$Rightarrow $ $Delta SBC$vuông cân tại S.
Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: $overrightarrow{AB}=overrightarrow{SB}-overrightarrow{SA}$
Ta có: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{SC}=left( overrightarrow{SB}-overrightarrow{SA} right).overrightarrow{SC}=overrightarrow{SB}.overrightarrow{SC}-overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}$
$={{a}^{2}}.cos {{90}^{0}}-{{a}^{2}}.cos {{60}^{0}}=-frac{{{a}^{2}}}{2}$
Do đó $cos left( overrightarrow{AB};overrightarrow{SC} right)=frac{overrightarrow{AB}.overrightarrow{SC}}{AB.SC}=frac{-frac{{{a}^{2}}}{2}}{a.a}=-frac{1}{2}$
$left( overrightarrow{AB};overrightarrow{SC} right)={{120}^{0}}$
| Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}+overrightarrow{AC}.overrightarrow{DB}+overrightarrow{AD}.overrightarrow{BC}=0$ b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra nếu tứ diện ABCD có $ABbot CD$ và $ACbot DB$ thì $ADbot BC$ |
Lời giải chi tiết
a) Lấy điểm A làm điểm gốc.
Ta có: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}+overrightarrow{AC}.overrightarrow{DB}+overrightarrow{AD}.overrightarrow{BC}$
$overrightarrow{AB}.left( overrightarrow{AD}-overrightarrow{AC} right)+overrightarrow{AC}left( overrightarrow{AB}-overrightarrow{AD} right)+overrightarrow{AD}left( overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB} right)=0$
b) Do $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}+overrightarrow{AC}.overrightarrow{DB}+overrightarrow{AD}.overrightarrow{BC}=0$
Mặt khác: $left{ begin{array} {} ABbot CD \ {} ACbot DB \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}=0 \ {} overrightarrow{AC}.overrightarrow{DB}=0 \ end{array} right.Rightarrow overrightarrow{AD}.overrightarrow{BC}=0$
Do đó $ADbot BC$
| Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC = 600, góc BAD = 600, góc CAD = 900. Chứng minh rằng:
a) $ABbot CD$ b) Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì $IJbot AB$ |
Lời giải chi tiết
a) Lấy điểm A là điểm gốc ta có $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}=overrightarrow{AB}.left( overrightarrow{AD}-overrightarrow{AC} right)$
$=overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD}-overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}={{a}^{2}}cos {{60}^{0}}-{{a}^{2}}cos {{60}^{0}}=0Rightarrow ABbot CD$
b) Ta có: $overrightarrow{IJ}=left( overrightarrow{IA}+overrightarrow{AJ} right)=-frac{1}{2}overrightarrow{AB}+frac{1}{2}left( overrightarrow{AC}+overrightarrow{AD} right)$
Do đó $overrightarrow{IJ}.overrightarrow{AB}=left( -overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}+overrightarrow{AD} right).overrightarrow{AB}$
$=-frac{1}{2}left( -{{overrightarrow{AB}}^{2}}+overrightarrow{AC}.overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}.overrightarrow{AB} right)$
$=-frac{1}{2}left( -{{overrightarrow{a}}^{2}}+{{a}^{2}}cos {{60}^{0}}+{{a}^{2}}cos {{60}^{0}} right)=0Rightarrow IJbot AB$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA. Chứng minh rằng $SAbot BC$, $SBbot AC$ và $SCbot AB$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử $ASB=BSC=CSA=alpha $và SA = SB = SC = a
Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: $overrightarrow{SA}.overrightarrow{BC}=overrightarrow{SA}.left( overrightarrow{SC}-overrightarrow{SB} right)$
$=overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}-overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB}={{a}^{2}}cos alpha -{{a}^{2}}cos alpha =0$
Tương tự chứng mình trên ta cũng có $SBbot AC$ và $SCbot AB$
| Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết rằng $ABbot AC$, $ABbot BD$. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $ABbot AC,ABbot BDRightarrow left{ begin{array} {} overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0 \ {} overrightarrow{AB}.overrightarrow{BD}=0 \ end{array} right.$
Lại có: $overrightarrow{PQ}=overrightarrow{PA}+overrightarrow{AQ}=-frac{1}{2}overrightarrow{AB}+frac{1}{2}left( overrightarrow{AC}+overrightarrow{AD} right)$
Do đó $overrightarrow{AB}.overrightarrow{PQ}=overrightarrow{AB}left[ -frac{1}{2}overrightarrow{AB}+frac{1}{2}left( overrightarrow{AC}+overrightarrow{AD} right) right]$
$=frac{{{overrightarrow{AB}}^{2}}}{2}+frac{overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD}}{2}=frac{overrightarrow{AB}}{2}left( overrightarrow{AD}-overrightarrow{AB} right)=frac{overrightarrow{AB}}{2}.overrightarrow{BD}=0$
Do đó $ABbot PQ$
| Bài tập 6: Trong không gian cho 2 vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ tạo với nhau một góc ${{120}^{0}}$. Biết rằng $left| overrightarrow{a} right|=3$ và $left| overrightarrow{b} right|=5$. Tính $left| overrightarrow{a}+overrightarrow{b} right|$và $left| overrightarrow{a}-overrightarrow{b} right|$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{left| overrightarrow{a}+overrightarrow{b} right|}^{2}}={{left( overrightarrow{a}+overrightarrow{b} right)}^{2}}={{overrightarrow{a}}^{2}}+2overrightarrow{a}.overrightarrow{b}+{{overrightarrow{b}}^{2}}={{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}+2left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|cos left( overrightarrow{a};overrightarrow{b} right)+left| overrightarrow{b} right|={{3}^{2}}+2.3.5.cos {{120}^{0}}+{{5}^{2}}=19$
Do đó $left| overrightarrow{a}+overrightarrow{b} right|=sqrt{19}$
Lại có: ${{left| overrightarrow{a}-overrightarrow{b} right|}^{2}}={{left( overrightarrow{a}-overrightarrow{b} right)}^{2}}={{overrightarrow{a}}^{2}}-2overrightarrow{a}.overrightarrow{b}+{{overrightarrow{b}}^{2}}={{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}-2left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|cos left( overrightarrow{a};overrightarrow{b} right)+left| overrightarrow{b} right|={{3}^{2}}-2.3.5.cos {{120}^{0}}+{{5}^{2}}=49$
Do đó $left| overrightarrow{a}-overrightarrow{b} right|=7$
| Bài tập 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa hai vectơ AC và DA’. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $overrightarrow{AC}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}$ và $overrightarrow{DA’}=overrightarrow{DA}+overrightarrow{DD’}=-overrightarrow{AD}+overrightarrow{AA’}$
Đặt $AB=aRightarrow AC=asqrt{2}=DA’$
Mặt khác $overrightarrow{AC’}.overrightarrow{DA’}=left( overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD} right)left( -overrightarrow{AD’}+overrightarrow{AA’} right)=-A{{D}^{2}}=-{{a}^{2}}$
Suy ra $cos left( overrightarrow{AC};overrightarrow{DA’} right)=frac{-{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}}=-frac{1}{2}Rightarrow left( overrightarrow{AC};overrightarrow{DA’} right)=-{{120}^{0}}$