Cách tính Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
– Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt thẳng $left( alpha right)$.
$dleft( a;left( alpha right) right)=dleft( M;left( alpha right) right)=MHleft( Min left( alpha right) right)$.
– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
$dleft( left( alpha right);left( beta right) right)=dleft( a;left( beta right) right)=dleft( A;left( beta right) right)=AHleft( asubset left( alpha right),Ain a right)$
Bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng, mặt phẳng song song có đáp án
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy ABC, Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $left( MNP right)$ và $left( SBC right)$. |
Lời giải chi tiết
Do $left{ begin{array} {} MP//BC \ {} MN//SB \ end{array} right.Rightarrow left( MNP right)bot left( SBC right)$
Dựng $SHbot BCleft( Hin BC right)$. Mặt khác $left( SBC right)bot left( ABC right)$
Do đó $SHbot left( ABC right)$
Gọi M là trung điểm của BC$Rightarrow AMbot BC$
Gọi $K=AEcap MPRightarrow KEbot BC$
Mặt khác $KEbot SHRightarrow KEbot (SBC)$
Suy ra $dleft( left( MNP right);left( SBC right) right)=dleft( K;left( SBC right) right)=KE=frac{AE}{2}=frac{asqrt{3}}{4}$
| Bài tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC có cạnh đáy băng 2a và cạnh bên đều bằng $asqrt{5}$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng $left( SAB right)$. |
Lời giải chi tiết
Gọi O là tâm của đáy ABCD$Rightarrow SObot left( ABCD right)$
Ta có: $OA=frac{AC}{2}=asqrt{2}$$Rightarrow SO=sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=asqrt{3}$
Mặt khác $dleft( CD;left( SAB right) right)=dleft( D;left( SAB right) right)$
Ta có: $frac{dleft( D;left( SAB right) right)}{dleft( O;left( SAB right) right)}=frac{DB}{OB}=2$
Dựng $OEbot AB,text{OF}bot text{SE}$ ta có: $OE=frac{AD}{2}=a$
Khi đó: $dleft( D;left( SAB right) right)=2OF=2.frac{SO.OE}{sqrt{S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=asqrt{3}$
| Bài tập 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên $left( ABC right)$ trùng với trung điểm của BC.
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến các mặt bên $left( BCC’B’ right)$ b) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là trung điểm của BC ta có: $A’Hbot BC$
Do $Delta text{ABC}$ đều nên $AHbot BCRightarrow BCbot left( A’HA right)$
Dựng $HKbot text{A}A’$ thì $left{ begin{array} {} HKbot BB’ \ {} KHbot BC \ end{array} right.Rightarrow KHbot left( BCC’B’ right)$
Do đó $dleft( AA’;left( BCC’B’ right) right)=dleft( K;left( BCC’B’ right) right)=KH$
Lại có: $AH=frac{asqrt{3}}{2}text{,AA}’=aRightarrow A’H=sqrt{A'{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=frac{a}{2}$
Suy ra $HK=frac{text{AA }!!’!!text{ }text{.AH}}{text{AA }!!’!!text{ }}=frac{asqrt{3}}{4}$
Do đó $dleft( AA’;left( BCC’B’ right) right)=frac{asqrt{3}}{4}$.
b) Ta có: $dleft( left( ABC right);left( A’B’C’ right) right)=dleft( A’;left( ABC right) right)=A’H=frac{a}{2}$
| Bài tập 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $left( MNP right)$ và $left( ACC’ right)$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $MN//AC,NP//AA’Rightarrow left( MNP right)//left( ACC’A’ right)$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD và $I=DOcap MN$
Ta có: $left{ begin{array} {} IObot AC \ {} IObot AA’ \ end{array} right.Rightarrow IObot left( ACC’A’ right)$
Do đó $dleft( left( MNP right);left( ACC’A’ right) right)=dleft( I;left( ACC’A’ right) right)=IO$
Lại có: $IO=frac{OD}{2}=frac{BD}{4}=frac{asqrt{2}}{4}$