Cho ∆ABC có G là trọng tâm như hình bên. Tìm x, biết AG = 4x + 6 và AM = 9x.

Câu hỏi:

Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $AD+BE+CF>\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)$;

B. $AD+BE+CF=\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)$;

C. AD + BE + CF < AB + BC + AC;

D. Đáp án A, C đúng.

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta xét đáp án A, B:
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có $GB=\frac{2}{3}BE$ và $GC=\frac{2}{3}CF$.
∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).
Suy ra $\frac{2}{3}BE+\frac{2}{3}CF>BC$.
Do đó $\frac{2}{3}\left(BE+CF\right)>BC$.
Khi đó $BE+CF>\frac{3}{2}BC$  (1).
Chứng minh tương tự ta được:
+) $AD+BE>\frac{3}{2}AB$  (2).
+) $AD+CF>\frac{3}{2}AC$  (3).
Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: $2AD+2BE+2CF>\frac{3}{2}AB+\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC$.
Suy ra $2\left(AD+BE+CF\right)>\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)$.
Do đó $AD+BE+CF>\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)$.
Vậy đáp án A đúng, đáp án B sai.
Ta xét đáp án C:
Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.
Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:
DA = DA’.
BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC).
$\widehat{ADB}=\widehat{A^{‘}DB}$ (hai góc đối đỉnh).
Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).
Suy ra AB = A’C (cặp cạnh tương ứng).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.
Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB  (4).
Chứng minh tương tự, ta được:
+) 2BE < AB + BC  (5).
+) 2CF < AC + BC  (6).
Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được: 2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.
Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).
Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.
Vậy đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====