Cho các số thực dương (x,y) thỏa mãn({log _{frac{1}{2}}}x, + ,{log _{frac{1}{2}}}y,, le ,,{log _{frac{1}{2}}}left( {x + {y^2}} right)). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (P = x + 3y) là
Câu hỏi:
Cho các số thực dương (x,y) thỏa mãn({log _{frac{1}{2}}}x, + ,{log _{frac{1}{2}}}y,, le ,,{log _{frac{1}{2}}}left( {x + {y^2}} right)). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (P = x + 3y) là
A. 9.
B. 8.
C. (frac{{25sqrt 2 }}{4}).
D. (frac{{17}}{2}).
Lời giải
Chọn A
Ta có: ({log _{frac{1}{2}}}x, + ,{log _{frac{1}{2}}}y,, le ,,{log _{frac{1}{2}}}left( {x + {y^2}} right))( Leftrightarrow {log _{frac{1}{2}}}xy le ,,{log _{frac{1}{2}}}left( {x + {y^2}} right))( Leftrightarrow )(xy ge x + {y^2})( Leftrightarrow xleft( {y – 1} right) ge {y^2} > 0 Rightarrow y > 1) (Vì (x;y > 0))( Rightarrow x ge frac{{{y^2}}}{{y – 1}}).
Ta có: (P = x + 3y ge frac{{{y^2}}}{{y – 1}} + 3y = 4y + 1 + frac{1}{{y – 1}}).
Cách 1: (P = 4y + 1 + frac{1}{{y – 1}} = 4left( {y – 1} right) + frac{1}{{y – 1}} + 5)
Vì (y > 1)( Rightarrow P ge 2sqrt {4left( {y – 1} right)frac{1}{{y – 1}}} + 5)( = 2.2 + 5 = 9).
Dấu bằng xảy ra khi ({left( {y – 1} right)^2} = frac{1}{4})( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}y = frac{3}{2},,,(tm)\y = frac{1}{2},,,(l)end{array} right.).
Cách 2:Xét hàm số: (fleft( y right) = 4y + 1 + frac{1}{{y – 1}}), với (y > 1).
Suy ra: ({f^{rm{‘}}}left( y right) = 4 – frac{1}{{{{left( {y – 1} right)}^2}}})( Rightarrow )({f^{rm{‘}}}left( y right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}y = frac{3}{2}left( {tm} right)\y = frac{1}{2}left( l right)end{array} right.)
Bảng biến thiên:
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số