Câu hỏi:
Cho các số thực (x,y) thỏa mãn (0 le x,y le 1) và ({log _2}frac{{x + y}}{{2 – xy}} + 2left( {x + 1} right)left( {y + 1} right) – 6 = 0). Tìm giá trị lớn nhất của (P = 3x + y).
A. (3).
B. (frac{7}{2}).
C. (4).
D. (frac{5}{2}).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Với điều kiện (left{ begin{array}{l}0 le x,y le 1\x + y > 0end{array} right.) ta có: ({log _2}frac{{x + y}}{{2 – xy}} + 2left( {x + 1} right)left( {y + 1} right) – 6 = 0)
( Leftrightarrow {log _2}left( {x + y} right) – {log _2}left( {2 – xy} right) + 2xy + 2x + 2y – 4 = 0)
( Leftrightarrow {log _2}left( {x + y} right) + 2left( {x + y} right) = {log _2}left( {2 – xy} right) + 2left( {2 – xy} right)left( * right)).
Xét hàm số (fleft( t right) = {log _2}t + 2t) trên (left( {0;2} right)).
(f’left( t right) = frac{1}{{tln 2}} + 2 > 0,forall t in left( {0;2} right)) nên hàm số (fleft( t right)) đồng biến trên khoảng (left( {0;2} right)).
Do đó từ (left( * right)) ta có (x + y = 2 – xy Leftrightarrow yleft( {1 + x} right) = 2 – x Leftrightarrow y = frac{{2 – x}}{{1 + x}}).
(P = 3x + y = 3x + frac{{2 – x}}{{1 + x}}). Xét hàm số (gleft( x right) = 3x + frac{{2 – x}}{{1 + x}},,,x in left[ {0;1} right]).
(g’left( x right) = 3 – frac{3}{{{{left( {1 + x} right)}^2}}} = frac{{3xleft( {x + 2} right)}}{{{{left( {1 + x} right)}^2}}} ge 0,forall x in left[ {0;1} right]). Suy ra (MaxP = frac{7}{2}) đạt được khi (x = 1,y = frac{1}{2}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit