Cho hai số thực dương (x),(y) thay đổi thỏa mãn đẳng thức: (left( {xy – 1} right){2^{2xy – 1}} = left( {{x^2} + y} right){2^{{x^2} + y}}). Tìm giá trị nhỏ nhất ({y_{min }}) của (y).
Câu hỏi:
Cho hai số thực dương (x),(y) thay đổi thỏa mãn đẳng thức: (left( {xy – 1} right){2^{2xy – 1}} = left( {{x^2} + y} right){2^{{x^2} + y}}). Tìm giá trị nhỏ nhất ({y_{min }}) của (y).
A. ({y_{min }} = 3).
B. ({y_{min }} = sqrt 3 ).
C. ({y_{min }} = 1).
D. ({y_{min }} = 2).
Lời giải
Chọn D
Do (x),(y) là số thực dương đẳng thức (left( {xy – 1} right){2^{2xy – 1}} = left( {{x^2} + y} right){2^{{x^2} + y}}). Suy ra (xy – 1 > 0).
Ta có ({log _2}left( {xy – 1} right) + left( {2xy – 1} right) = {log _2}left( {{x^2} + y} right) + left( {{x^2} + y} right))
( Leftrightarrow )({log _2}left( {2xy – 2} right) + left( {2xy – 2} right) = {log _2}left( {{x^2} + y} right) + left( {{x^2} + y} right)). (1)
Xét hàm số (fleft( t right) = {log _2}t + t). Hàm số này đồng biến trên (left( {0; + infty } right)).
Nên từ (1) ta được (fleft( {2xy – 2} right) = fleft( {{x^2} + y} right))( Leftrightarrow )(2xy – 2 = {x^2} + y)( Leftrightarrow )(yleft( {2x – 1} right) = {x^2} + 2)
Do (y > 0), ({x^2} + 2 > 0) nên (2x – 1 > 0 Leftrightarrow x > frac{1}{2}) Suy ra (y = frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 1}}).
Xét hàm số (g(x) = frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 1}}) trên (left( {frac{1}{2}; + infty } right)).
Bảng biến thiên (g(x))
Dựa vào bảng biến thiên suy ra ({y_{min }} = 2)tại (x = 2).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số