Câu hỏi:
Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} – x + m + 1.) Tìm (m) để khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất?
A. (m = – 1)()
B. (m = 1)
C. (m = 0)
D. (m = 2)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đáp án C
Ta có: (y’ = {x^2} – 2mx – 1 > 0,forall m in mathbb{R}.) Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Gọi hai điểm cực trị là: (Aleft( {{x_1}, – frac{2}{3}({m^2} + 1){x_1} + frac{2}{3}m + 1} right),Bleft( {{x_2}, – frac{2}{3}({m^2} + 1){x_2} + frac{2}{3}m + 1} right).)
(AB = sqrt {{{({x_2} – {x_1})}^2} + {{left( { – frac{2}{3}({m^2} + 1)({x_2} – {x_1})} right)}^2}} ,,,,,,,, = 2sqrt {({m^2} + 1)left( {1 + frac{4}{9}{{({m^2} + 1)}^2}} right)} )
Đặt (t = {m^2} + 1 ge 1 Rightarrow AB = 2sqrt {frac{4}{9}{t^3} + t} .)
Xét hàm số (g(t) = frac{4}{9}{t^3} + t) liên tục trên nửa khoảng ([1; + infty ).)(g'(t) = frac{4}{3}{t^2} + 1 > 0forall t ge 1.)
Suy ra (g(t)) đồng biến trên nửa khoảng ([1; + infty ).)Do đó: (mathop {min }limits_{[1; + infty )} g(t) = g(1) = frac{{13}}{9}.)
Vậy (mathop {min }limits_{} AB = 2sqrt {frac{{13}}{9}} = frac{{2sqrt {13} }}{3} Leftrightarrow t = 1 Leftrightarrow m = 0.)
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Cực trị của hàm số