Câu hỏi:
Cho hàm số (y = m{x^4} – 2left( {{m^2} – 1} right){x^2} + m + 1). Tìm (m) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (left( {2; + infty } right)).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1.
Nếu (m > 0) thì (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } {x^4}left( {m – frac{{2left( {{m^2} – 1} right)}}{{{x^2}}} + frac{{m + 1}}{{{x^4}}}} right) = + infty ) nên không thể nghịch biến trên (left( {2; + infty } right)).
Nếu (m = 0) thì (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {2{x^2} + 1} right) = + infty ) nên không thể nghịch biến trên (left( {2; + infty } right)).
Nếu (m < 0) thì yêu cầu bài toán tương đương với
(begin{array}{l}y’ le 0,forall x in left( {2; + infty } right) Leftrightarrow m{x^3} le left( {{m^2} – 1} right)x,forall x in left( {2; + infty } right)\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow frac{{{m^2} – 1}}{m} le {x^2},forall x in left( {2; + infty } right),,,,,,,left( * right)end{array})
Xét hàm số (y = {x^2}) trên (left( {2; + infty } right)), ta có (y’ = 2x), (y’ = 0 Leftrightarrow x = 0 notin left( {2; + infty } right)).
Bảng biến thiên hàm số (y = {x^2}) trên (left( {2; + infty } right))
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra
(begin{array}{l}left( * right) Leftrightarrow frac{{{m^2} – 1}}{m} le 4 Leftrightarrow {m^2} – 4m – 1 ge 0\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m le 2 – sqrt 5 \m ge 2 + sqrt 5 end{array} right.end{array})
So với điều kiện đang xét, ta có (m le 2 – sqrt 5 ).
Vậy giá trị (m) cần tìm là (m le 2 – sqrt 5 ).
Cách 2.
Nhận xét:
o (m = 0) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
o (m > 0) thì (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } {x^4}left( {m – frac{{2left( {{m^2} – 1} right)}}{{{x^2}}} + frac{{m + 1}}{{{x^4}}}} right) = + infty ) nên không thể nghịch biến trên (left( {2; + infty } right)).
Đặt (t = {x^2}),.
Hàm số (y = m{x^4} – 2left( {{m^2} – 1} right){x^2} + m + 1) nghịch biến trên (left( {2; + infty } right)) khi chỉ khi hàm số (y = gleft( t right) = m{t^2} – 2left( {{m^2} – 1} right)t + m + 1) nghịch biến trên (left( {4; + infty } right)).
Bảng biến thiên của hàm số (y = gleft( t right)) trên (mathbb{R}) với (m < 0):
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra (left( * right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m < 0\frac{{{m^2} – 1}}{m} le 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m < 0\{m^2} – 4m – 1 ge 0end{array} right. Leftrightarrow m le 2 – sqrt 5 ).
=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC