Cho khối lăng trụ tam giác đều (ABC.A’B’C’) có chiều cao là a và (AB’ bot BC’). Thể tích lăng trụ là

Gọi M là trung điểm của A’C’, O là tâm của hình chữ nhật ABB’A’.

Do (OM//BC’,,,AB’ bot BC’) nên (OM bot AB’)

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là x.

Ta có: (BM = dfrac{{xsqrt 3 }}{2}), (OM = dfrac{{BC}}{2} = dfrac{{sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}), (OB’ = dfrac{{AB’}}{2} = dfrac{{sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2})

( Rightarrow Delta OB’M) vuông cân tại O

(begin{array}{l} Rightarrow MB’ = sqrt 2 .OB’ Leftrightarrow dfrac{{xsqrt 3 }}{2} = sqrt 2 .dfrac{{sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}\ Leftrightarrow 3{x^2} = 2{a^2} + 2{x^2} Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2} Leftrightarrow x = asqrt 2 end{array})

Diện tích tam giác ABC là: (S = dfrac{{{{left( {asqrt 2 } right)}^2}sqrt 3 }}{4} = dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{2})

Thể tích khối lăng trụ là:  (V = Sh = dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}.a = dfrac{{{a^3}sqrt 3 }}{2}).

Chọn: A