Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=AC=BB’=a;BAC^=120°. Gọi I là trung điểm của CC’. Côsin của góc tạo bởi (ABC) hai mặt phẳng và (AB’I) bằng

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=x^3+(m–1)x^2–3mx+2m+1$ có đồ thị $\left(C_m\right)$, biết rằng đồ thị $\left(C_m\right)$ luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Có bao nhiêu số nguyên dương m thuộc đoạn [-2020;2020] để $\left(C_m\right)$ có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ?

A. 4041.

B. 2021.

C. 2019.

D. 2020.

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D.Hàm số được viết lại thành $\left(x^2–3x+2\right)m+x^3–x^2+1–y=0.$Một điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cố định của đồ thị hàm số thì phương trình $\left(x_0^2–3x_0^{}+2\right)m+x_0^3–x_0^2+1–y_0=0$ phải nghiệm đúng với mọi m xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{x}_0^2–3x_0+2=0\\ x_0^3–x_0^2+1–y_0=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_0=1;y_0=1\\ x_0=2;y_0=5\end{array}\right..$Giả sử $A\left(1;1\right),B\left(2;5\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(1;4\right)$ khi đó hệ số góc của đường thẳng AB là k=4Đặt $f\left(x\right)=x^3+\left(m–1\right)x^2–3mx+2m+1$Để trên đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng AB thì hệ số góc tại tiếp điểm phải bằng $k‘=–\frac{1}{4}.$ Điều đó xảy ra khi và chỉ khi $f‘\left(x\right)=–\frac{1}{4}$ có nghiệm.Ta có $f‘\left(x\right)=3x^2+2\left(m–1\right)x–3m.$Phương trình $f‘\left(x\right)=–\frac{1}{4}\iff 3x^2+2\left(m–1\right)x–3m=–\frac{1}{4}\left(1\right).$Phương trình (1) có nghiệm khi $\Delta ‘\ge 0\iff m\in \left(–\infty ;\frac{–7–4\sqrt{3}}{2}\right]\cup \left[\frac{–7+4\sqrt{3}}{2};+\infty \right).$Với $\frac{–7+4\sqrt{3}}{2}\approx –0,03$ nên các số nguyên dương $m\in \left[–2020;2020\right]$ là $\left\{1;2;3;...;2020\right\}.$Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

====== TRẮC NGHIỆM VẬT LÝ 12 =====