adsense
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2} + 6iz} \right| = 16\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức\(P = \left| {\left( {3 + 4i} \right)z – 12 + 9i} \right|\)
A. \(50\).
B. \(25\).
C. \(5\).
D. \(20\).
Lời giải:
Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có \(P = \left| {\left( {3 + 4i} \right)z – 12 + 9i} \right| = \left| {\left( {3 + 4i} \right)\left( {z + 3i} \right)} \right| = \left| {3 + 4i} \right|\left| {z + 3i} \right|\)
adsense
\( \Leftrightarrow P = 5\left| {z + 3i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {P^2} = 25{\left( {\left| {z + 3i} \right|} \right)^2} = 25\left| {{{\left( {z + 3i} \right)}^2}} \right| = 25\left| {\left( {{z^2} + 6iz} \right) – 9} \right|\)
\( \Leftrightarrow {P^2} \le 25\left( {\left| {{z^2} + 6iz} \right| + 9} \right) = 25 \cdot 25 \Leftrightarrow P \le 25\).
Dấu bằng xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{z^2} + 6iz = 9k\,khi\,\left( {k \le 0} \right)\\\left| {{z^2} + 6iz} \right| = 16\end{array} \right. \Rightarrow k = – \frac{{16}}{9}\).
Khi đó \({z^2} + 6iz = – 16 \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} – 6y + \left( {2xy + 6x} \right)i = – 16\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – {y^2} – 6y = – 16\\2x\left( {y + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = – 3\end{array} \right.\\{x^2} – {y^2} – 6y = – 16\end{array} \right.\).
Với \(x = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = – 8\end{array} \right.\). Với \(y = – 3\) không có giá trị \(x\) thỏa mãn.
Vậy có hai số phức\(z = 2i\) hoặc \(z = – 8i\).
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.