Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (Hình 61). Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (Hình 61). Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA.

Trả lời:

• Xét tam giác HAB có BD ⊥ AH, AE ⊥ BH, HF ⊥ AB và ba đường cao BD, AE, HF cắt nhau tại C.
Do đó C là trực tâm tam giác HAB.
• Xét tam giác HBC có HD ⊥ BC, BF ⊥ HC, CE ⊥ BH và ba đường cao HD, BF, CE cắt nhau tại A.
Do đó A là trực tâm tam giác HBC.
• Xét tam giác HCA có HE ⊥ AC, AF ⊥ HC, CD ⊥ AH và ba đường cao HE, AF, CD cắt nhau tại B.
Do đó B là trực tâm tam giác HCA.
Vậy trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA tương ứng là C, A, B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC có trực tâm H đồng thời cũng là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có trực tâm H đồng thời cũng là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

   Trả lời:

   

   Gọi M là giao điểm của AH và BC.
   Vì H cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nên HA = HB = HC.
   Do HB = HC nên H nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
   Tam giác ABC có trực tâm H nên AH ⊥ BC tại M.
   Do đó AH là đường trung trực của BC và M là trung điểm của BC.
   Khi đó MB = MC.
   Xét DABM và DACM có:
   $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\left(=90°\right)$,
   AM là cạnh chung,
   MB = MC (chứng minh trên).
   Do đó DABM = DACM (hai cạnh góc vuông)
   Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).
   Chứng minh tương tự ta cũng có: AB = BC.
   Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.
   Suy ra ba góc của tam giác ABC đều có số đo bằng 60°.
   Vậy số đo các góc của tam giác ABC đều bằng 60°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BE; K là hình chiếu của I trên BC.
   a) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng.

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BE; K là hình chiếu của I trên BC.
   a) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng.

   Trả lời:

   

   a) Xét tam giác BCD có I là giao điểm của hai đường cao CA và BE nên I là trực tâm của tam giác DBC.
   Suy ra DI ⊥ BC. 
   Mặt khác, IK ⊥ BC (giả thiết).
   Do đó đường cao DI đi qua K nên ba điểm D, I, K thẳng hàng.
   Vậy ba điểm D, I, K thẳng hàng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

3. b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trọng tâm của tam giác BCD.

   Câu hỏi:
   

   b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trọng tâm của tam giác BCD.

   Trả lời:

   b) Xét DCDA và DCBA có:
   $\widehat{CAD}=\widehat{CAB}\left(={90}^o\right)$,
   CA là cạnh chung,
   AD = AB (giả thiết)
   Do đó DCDA = DCBA (hai cạnh góc vuông)
   Suy ra CD = CB (hai cạnh tương ứng) (1)
   Tam giác BCD có I là trọng tâm của tam giác nên BE là đường trung tuyến của tam giác.
   Do đó CE = DE.
   Chứng minh tương tự như trên ta cũng có DBDE = DBCE (hai cạnh góc vuông)
   Suy ra BD = BC (hai cạnh tương ứng) (2)
   Từ (1) và (2) ta có BC = CD = DB nên tam giác BCD là tam giác đều.
   Do đó $\widehat{DBC}=60°$  hay $\widehat{ABC}=60°$
   Vậy điều kiện của tam giác ABC để I cũng là trọng tâm của tam giác BCD là tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=60°$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E.
   a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E.
   a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

   Trả lời:

   

   a) Gọi K là giao điểm của BD và AE.
   Xét DBAD và DBED có:
   $\widehat{BAD}=\widehat{BED}(=90°)$,
   BD là cạnh chung,
   $\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (do BD là tia phân giác của góc ABC)
   Do đó ∆BAD = ∆BED (cạnh huyền – góc nhọn).
   Suy ra BA = BE (hai cạnh tương ứng).
   Xét DABK và DEBK có:
   BA = BE (chứng minh trên),
   $\widehat{ABK}=\widehat{EBK}$ (do BD là tia phân giác của góc ABC),
   BK là cạnh chung
   Do đó DABK = DEBK (c.g.c)
   Suy ra $\widehat{BKA}=\widehat{BKE}$  (hai góc tương ứng).
   Mà $\widehat{BKA}+\widehat{BKE}=180°$   (hai góc kề bù)
   Nên $\widehat{BKA}=\widehat{BKE}=\frac{180°}{2}=90°$
   Hay BK ⊥ AE.
   Do BK là đường cao của tam giác BAE và B, K, D thẳng hàng nên trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.
   Vậy trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

5. b) Chứng minh trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.

   Câu hỏi:
   

   b) Chứng minh trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.

   Trả lời:

   b) Ta có $\widehat{ADE}+\widehat{EDC}=180°$  (hai góc kề bù)
   Mà $\widehat{EDC}<90°$  (vì tam giác ECD vuông tại E nên góc EDC là góc nhọn)
   Suy ra $\widehat{ADE}>90°$
   Do góc ADE là góc tù nên trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.
   Vậy trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====