Cho tứ diện đều (ABCD) cạnh (a). Gọi (M) là trung điểm của (BC). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng (AB) và (DM).

 

Gọi (N) là trung điểm của (AC), khi đó (MN) là đường trung bình của tam giác (Delta ABC).

( Rightarrow MN//AB Rightarrow angle left( {AB;DM} right) = angle left( {MN;DM} right)).

Ta có: (MN = dfrac{1}{2}AB = dfrac{a}{2}), (DM,,,DN) là các đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh (a) nên (DM = DN = dfrac{{asqrt 3 }}{2}).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác (DMN) ta có:

(begin{array}{l}cos angle DMN = dfrac{{D{M^2} + M{N^2} – D{N^2}}}{{2DM.MN}}\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = dfrac{{dfrac{{3{a^2}}}{4} + dfrac{{{a^2}}}{4} – dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.dfrac{{asqrt 3 }}{2}.dfrac{1}{2}}} = dfrac{{sqrt 3 }}{6}end{array})

Vậy (cos angle left( {AB;DM} right) = dfrac{{sqrt 3 }}{6}).

Chọn A.