Cho (x > 0.) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (M = 4{x^2} – 3x + dfrac{1}{{4x}} + 2020)

Ta có:

(begin{array}{l}M = 4{x^2} – 3x + dfrac{1}{{4x}} + 2020\ = 4{x^2} – 4x + x + dfrac{1}{{4x}} + 1 + 2019\ = left( {4{x^2} – 4x + 1} right) + left( {x + dfrac{1}{{4x}}} right) + 2019\ = {left( {2x – 1} right)^2} + left( {x + dfrac{1}{{4x}}} right) + 2019end{array})

Ta có: ({left( {2x – 1} right)^2} ge 0) với mọi (x > 0).

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương là (x) và (dfrac{1}{{4x}}) ta có:

(x + dfrac{1}{{4x}} ge 2sqrt {x.dfrac{1}{{4x}}} ) ( = 2.sqrt {dfrac{1}{4}}  = 2.dfrac{1}{2} = 1)

( Rightarrow M ge 0 + 1 + 2019 = 2020)

Dấu “=” xảy ra khi (left{ begin{array}{l}2x – 1 = 0\x = dfrac{1}{{4x}}end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2x = 1\4{x^2} = 1end{array} right. Leftrightarrow x = dfrac{1}{2})

Vậy GTNN của M là (2020) khi (x = dfrac{1}{2}).