Giá trị lớn nhất của biểu thức (P = frac{{{y^2}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}) bằng
Câu hỏi:
Cho (x,y) là các số thực dương thỏa mãn ({log _2}frac{y}{{2sqrt {1 + x} }} = 3(y – sqrt {1 + x} ) – {y^2} + x).
Giá trị lớn nhất của biểu thức (P = frac{{{y^2}}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}) bằng
A. (sqrt 2 ).
B. (sqrt 3 ).
C. (frac{1}{{sqrt 2 }}).
D. (frac{1}{{sqrt 3 }}).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Với (x,y) là các số dương, ta có
({log _2}frac{y}{{2sqrt {1 + x} }} = 3(y – sqrt {1 + x} ) – {y^2} + x Leftrightarrow {log _2}y + {y^2} – 3y = {log _2}sqrt {1 + x}+ (1 + x) – 3sqrt {1 + x} ).
Xét hàm (f(t) = {log _2}t + {t^2} – 3t) trên ((0; + infty )).
Ta có (f'(t) = frac{1}{{tln 2}} + 2t – 3 ge 2sqrt {frac{2}{{ln 2}}}- 3 > 0,{rm{ }}forall t > 0) suy ra hàm số (f(t)) đồng biến trên ((0; + infty ))
Do đó( Leftrightarrow f(y) = f(sqrt {1 + x} ) Leftrightarrow y = sqrt {1 + x}Leftrightarrow {y^2} = 1 + x).
Khi đó (P = frac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}), ta có (2({x^2} + 1) ge {(x + 1)^2} Rightarrow sqrt 2ge frac{{x + 1}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}), dấu bằng xảy ra khi (x = 1).
Vậy giá trị lớn nhất của (P) bằng (sqrt 2 ), đạt được khi (x = 1,y = sqrt 2 ).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit