Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC cân ở A có $\widehat{BAC}=120°$ . Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).

a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Trả lời:

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.
• Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{B}=\widehat{C}$ .
Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = $\frac{1}{2}$ AB.
Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = $\frac{1}{2}$ AC.
Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.
• Xét ∆AQI và ∆API có:
$\widehat{AQI}=\widehat{API}\left(=90°\right)$,
AI là cạnh chung,
AQ = AP (chứng minh trên)
Do đó ∆AQI = ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).
• Xét ∆BQD và ∆CPE có:
$\widehat{BQ\text{D}}=\widehat{CPE}\left(=90°\right)$,
 $\widehat{B}=\widehat{C}$(chứng minh trên),
BQ = CP (chứng minh trên)
Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).
• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.
Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)
Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====