(Chuyên Lam Sơn 2022) Có bao nhiêu số nguyên dương (m) để phương trình (mleft( {{e^x} – 1} right) cdot ln (mx + 1) + 2{e^x} = {e^{2x}} + 1) có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5.
A. (26.)
B. 27.
C. (29.)
D. 28.
Lời giải:
Xét phương trình (mleft( {{e^x} – 1} right) cdot ln (mx + 1) + 2{e^x} = {e^{2x}} + 1(*)) điều kiện (mx + 1 > 0)
((*) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{{e^x} – 1 = 0}\{{e^x} – 1 = m cdot ln (mx + 1)}end{array}} right.)
({e^x} – 1 = 0 Leftrightarrow x = 0) ({e^x} – 1 = m cdot ln (mx + 1)),
Đặt (y = ln (mx + 1) Rightarrow {e^x} – 1 = my.) Ta có hệ phương trình (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = ln (my + 1)(1)}\{y = ln (mx + 1)(2)}end{array}} right.)
Trừ (1) và (2) theo vế ta được: (x – y = ln (my + 1) – ln (mx + 1)) hay (x + ln (mx + 1) = y + ln (my + 1)) với (m > 0) thì hàm số (f(x) = x + ln (mx + 1)) đồng biến trên tập xác định nên (x + ln (mx + 1) = y + ln (my + 1) Leftrightarrow x = y)
Thay (x = y) vào (1) ta được (x = ln (mx + 1)) hay ({e^x} = mx + 1(4))
Rõ ràng (x = 0) là 1 nghiệm của phương trình (4).
Với (x ne 0) ta có ((4) Leftrightarrow m = frac{{{e^x} – 1}}{x})
Xét hàm số (g(x) = frac{{{e^x} – 1}}{x}), ta có: Tập xác định (D = mathbb{R}backslash { 0} ) và (gprime (x) = frac{{x{e^x} – {e^x} + 1}}{{{x^2}}}) (gprime (x) = 0 Leftrightarrow x{e^x} – {e^x} + 1 = 0)
Hàm số (h(x) = x{e^x} – {e^x} + 1) có (hprime (x) = x{e^x}) nên (hprime (x) = 0 Leftrightarrow x = 0)
Ta có bảng biến thiên của (h(x)) như sau:
Suy ra (h(x) ge 0,forall x) do đó (gprime (x) > 0,forall x ne 0)
Bảng biến thiên của (g(x)):
Để phương trình ({e^x} – 1 = ln {(mx + 1)^m}) có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5 thì phương trình (m = g(x)) có duy nhất 1 nghiệm bé hơn hoặc bằng 5. Ta có (g(5) = frac{{{e^5} – 1}}{5} approx 29,5)
Dựa vào bảng biến thiên của (g(x)) ta có (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{0 < m le g(5)}\{m ne 1}end{array}} right.) do (m in {mathbb{N}^*}) nên có 28 giá trị thỏa mãn.