Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để (sqrt {sqrt {1 + x} + sqrt {3 – x} – m} – sqrt {3 + 2x – x_{}^2} le 2) có nghiệm.
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để (sqrt {sqrt {1 + x} + sqrt {3 – x} – m} – sqrt {3 + 2x – x_{}^2} le 2) có nghiệm.
A. (19).
B. (18).
C. (17).
D. (16).
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: ( – 1 le x le 3).
(begin{array}{l}sqrt {sqrt {1 + x} + sqrt {3 – x} – m} – sqrt {3 + 2x – x_{}^2} le 2\ Leftrightarrow sqrt {sqrt {1 + x} + sqrt {3 – x} – m} le 2 + sqrt {3 + 2x – x_{}^2} \ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}sqrt {1 + x} + sqrt {3 – x} – m ge 0\sqrt {1 + x} + sqrt {3 – x} – m le left( {2 + sqrt {3 + 2x – x_{}^2} } right)_{}^2end{array} right.{rm{ }}left( 1 right)end{array})
Đặt (t = sqrt {1 + x} + sqrt {3 – x} ) ( Rightarrow t’ = frac{1}{{2sqrt {1 + x} }} – frac{1}{{2sqrt {3 – x} }};{rm{ }}t’ = 0 Leftrightarrow x = 1).
Dựa vào bảng biến thiên ( Rightarrow t in left[ {2;2sqrt 2 } right])
(left( 1 right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m le t\m ge t – frac{{t_{}^4}}{4} = fleft( t right)end{array} right.). Hệ (left( 1 right)) có nghiệm ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m le mathop {max }limits_{left[ {2;2sqrt 2 } right]} t\m ge mathop {min }limits_{left[ {2;2sqrt 2 } right]} fleft( t right)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m le 2sqrt 2 \m ge mathop {min }limits_{left[ {2;2sqrt 2 } right]} fleft( t right)end{array} right.).
Xét hàm số (fleft( t right)) trên đoạn (left[ {2;2sqrt 2 } right]) có (f’left( t right) = 1 – t_{}^3 < 0{rm{ }}forall t in left[ {2;2sqrt 2 } right]).
Do đó (fleft( t right)) nghịch biến trên (left[ {2;2sqrt 2 } right]) ( Rightarrow mathop {min }limits_{left[ {2;2sqrt 2 } right]} fleft( t right) = fleft( {2sqrt 2 } right) = 2sqrt 2 – 16).
Yêu cầu bài toán ( Leftrightarrow 2sqrt 2 – 16 le m le 2sqrt 2 ).
Vậy có 16 giá trị m thỏa mãn.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số