Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m) để phương trình (fleft( {sqrt[3]{{f(x) + m}}} right) = {x^3} – m) có nghiệm (x in left[ {1;,2} right]) biết (f(x) = {x^5} + 3{x^3} – 4m). – Sách Toán

Đặt (t = sqrt[3]{{f(x) + m}} to {t^3} = f(x) + m). Ta được hệ phương trình sau:

(left{ begin{array}{l}f(t) = {x^3} – m\,,,,,t,,,, = f(x) + mend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(t) = {x^3} – m\f(x), = {t^3} – mend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(t) + {t^3} = f(x),, + {x^3}(*)\f(x),,,,,,,,, = {t^3} – mend{array} right.).

Vì (f(x) = {x^5} + 3{x^3} – 4m,,f'(x) = 5{x^4} + 9{x^2} ge 0,forall x in )(mathbb{R}) nên hàm số (h(x) = f(x) + {x^3})đồng biến trên (mathbb{R}). Do đó: ((*) Leftrightarrow x = t).

Khi đó ta được: (f(x) = {x^3} – m = {x^5} + 3{x^3} – 4m Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} = 3m Leftrightarrow g(x) = frac{1}{3}{x^5} + frac{2}{3}{x^3} = m(**)).

Dễ thấy (g(x) = frac{1}{3}{x^5} + frac{2}{3}{x^3}) đồng biến trên (left[ {1;,2} right]) nên phương trình (**) có nghiệm trên đoạn (left[ {1;,2} right]) khi và chỉ khi: (g(1) le m le g(2) Leftrightarrow 1 le m le 16.)

Vì (m) thuộc số nguyên nên có 16 số thỏa mãn bài toán.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Sự tương giao đồ thị hàm số