CÔNG THỨC CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG GIẢI NHANH
Một số công thức tính cực đại cực tiểu hàm trùng phương
R Xét hàm số trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ với hệ số $ane 0$.
Ta có: $y’=4a{{x}^{3}}+2bx=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ {{x}^{2}}=frac{-b}{2a} \end{matrix}. right.$ Khi đó:
Hàm số có một cực trị $Leftrightarrow frac{-b}{2a}ge 0Leftrightarrow abge 0.$
Hàm số có ba cực trị $Leftrightarrow frac{-b}{2a}
Hàm số có một cực trị và cực trị là cực tiểu $Leftrightarrow left{ begin{matrix} a>0 \ bge 0 \end{matrix} right..$
Hàm số có một cực trị và cực trị là cực đại $Leftrightarrow left{ begin{matrix} a>0 \ ble 0 \end{matrix} right..$
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại $Leftrightarrow left{ begin{matrix} a>0 \ b
Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu $Leftrightarrow left{ begin{matrix} a>0 \ b>0 \end{matrix} right..$
R Bài toán hàm trùng phương có ba cực trị tạo tam giác ABC (rất hay gặp)
Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị: $frac{-b}{2a}>0left( * right)$
Với điều kiện (*) ta có [y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0={{x}_{A}}xrightarrow{{}}{{y}_{A}}text{ } \ {{x}_{2}}=sqrt{frac{-b}{2a}}={{x}_{B}}xrightarrow{{}}{{y}_{B}} \ {{x}_{3}}=-sqrt{frac{-b}{2a}}={{x}_{C}}xrightarrow{{}}{{y}_{C}} \end{matrix} right.,] từ đó
[Aleft( 0;{{y}_{A}} right);Bleft( sqrt{frac{-b}{2a}};{{y}_{B}} right);Cleft( -sqrt{frac{-b}{2a}};{{y}_{C}} right)]
Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có ${{y}_{B}}={{y}_{C}}.$
Nhận xét: $Ain Oy,B;C$ đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A.
Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số:
Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A. Khi đó ta có điều kiện $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0,(1)$ với $overrightarrow{AB}=left( sqrt{frac{-b}{2a}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} right);overrightarrow{AC}=left( -sqrt{frac{-b}{2a}};{{y}_{C}}-{{y}_{A}} right)$
Từ đó (1)$Leftrightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0Leftrightarrow frac{b}{2a}+{{left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)}^{2}}=0$
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.
Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân ABC: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}Leftrightarrow 2A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$
Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng ${{120}^{0}}.$
Tam giác ABC cân tại A nên $oversetfrown{BAC}={{120}^{0}}.$ Gọi H là trung điểm của $BCRightarrow Hleft( 0;{{y}_{B}} right).$
Ta có $cos oversetfrown{HAB}=frac{AH}{AB}Leftrightarrow cos {{60}^{0}}=frac{AH}{AB}Leftrightarrow AB=2AHLeftrightarrow A{{B}^{2}}=4A{{H}^{2}},(3)$
với $overrightarrow{AB}=left( sqrt{frac{-b}{2a}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} right);overrightarrow{AH}=left( 0;{{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)$, từ đó (3) $Leftrightarrow frac{-b}{2a}+{{left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)}^{2}}=4{{left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)}^{2}}$
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.
Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích $S={{S}_{o}}$ cho trước.
Gọi H là trung điểm của $BCRightarrow Hleft( 0;{{y}_{B}} right).$ Khi đó
${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}AH.BCLeftrightarrow 2{{S}_{o}}=AH.BCLeftrightarrow 4S_{o}^{2}=A{{H}^{2}}.B{{C}^{2}},(4)$
với $overrightarrow{BC}=left( -2sqrt{frac{-b}{2a}};0 right);overrightarrow{AH}=left( 0;{{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)$, từ đó (4) $Leftrightarrow 4S_{o}^{2}={{left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)}^{2}}.4left( frac{-b}{2a} right)$
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.
Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước.
Sử dụng công thức diện tích tam giác $S=frac{abc}{4R}Rightarrow R=frac{abc}{4S}Leftrightarrow R=frac{AB.AC.BC}{4.frac{1}{2}.AH.BC}Leftrightarrow R=frac{A{{B}^{2}}}{2AH}$
Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng.
Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm $Gleft( 0;alpha right)$ cho trước.
Ta có điều kiện trong trường hợp này là $alpha =frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}Leftrightarrow {{y}_{A}}+2{{y}_{B}}=3alpha $
Tính chất 7: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước.
Sử dụng công thức diện tích tam giác $S=p.rRightarrow r=frac{S}{p}=frac{frac{1}{2}AH.BC}{frac{AB+AC+BC}{2}}=frac{AH.BC}{2AB+BC}$
Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng.
R Một số công thức tính nhanh liên quan đến cực trị của hàm trùng phương (tham khảo)
Xét hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ với $ane 0$ và hàm số có ba điểm cực trị.
Khi đó gọi $Aleft( 0;c right);Bleft( sqrt{frac{-b}{2a}};-frac{Delta }{4a} right);Cleft( -sqrt{frac{-b}{2a}};-frac{Delta }{4a} right)$ lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $Rightarrow AB=AC=sqrt{frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-frac{b}{2a}};BC=2sqrt{-frac{b}{2a}}$ với $Delta ={{b}^{2}}-4ac$.
Xét $Delta ABC$ cân, đặt $oversetfrown{BAC}=alpha $ ta có ${{tan }^{2}}frac{alpha }{2}=-frac{8a}{{{b}^{3}}}.$
Và diện tích $S=frac{1}{4}.frac{{{b}^{2}}}{left| a right|}.sqrt{frac{-b}{2a}}Rightarrow {{S}^{2}}=frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}},$ phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-left( c+n right)x+c.n=0$ với $n=frac{2}{b}-frac{Delta }{4a}$.
Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+ctext{ }left( ab
Bảng công tính nhanh tính đơn điệu của hàm số
|
DỮ KIỆN GIẢ THIẾT |
CÔNG THỨC TÍNH NHANH |
|
Tam giác ABC vuông cân tại A |
$alpha ={{90}^{0}}$ |
|
Tam giác ABC đều |
$alpha ={{60}^{0}}$ |
|
$oversetfrown{BAC}=alpha $ |
${{tan }^{2}}frac{alpha }{2}=-frac{8a}{{{b}^{3}}}$ |
|
${{S}_{Delta ABC}}={{S}_{o}}$ |
${{left( {{S}_{o}} right)}^{2}}=frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}$ |
|
${{r}_{Delta ABC}}={{r}_{o}}$ (bán kính đường tròn nội tiếp) |
${{r}_{o}}=frac{{{b}^{2}}}{left| a right|left( 1+sqrt{1-frac{{{b}^{2}}}{a}} right)}$ |
|
$BC={{m}_{0}}$ |
$a.m_{0}^{2}+2b=0$ |
|
$Ab=AC={{n}_{0}}$ |
$16{{a}^{2}}.n_{0}^{2}-{{b}^{4}}+8b=0$ |
|
$B,Cin Ox$ (ba điểm cực trị nằm trên cùng một trục tọa độ) |
${{b}^{2}}-4ac=0$ |
|
Tam giác có trọng tâm $Oleft( 0;0 right)$ (gốc tọa độ) |
${{b}^{2}}-6ac=0$ |
|
Tam giác có trực tâm $Oleft( 0;0 right)$ (gốc tọa độ) |
${{b}^{3}}+8a-4ac=0$ |
|
${{R}_{Delta ABC}}={{R}_{0}}$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp) |
[{{R}_{0}}=frac{{{b}^{3}}-8a}{8left| a right|b}] |