(Đại học Hồng Đức – 2022) Cho (f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 1). Phương trình (sqrt {f(f(x) + 1) + 1} = f(x) + 2) có số nghiệm thực là
A. 7.
B.6.
C. 4.
D. 9.
Lời giải:.
Đặt (t = f(x) + 1 Rightarrow t = {x^3} – 3{x^2} + 2quad (*))
Suy ra (tprime = 3{x^2} – 6x). Khi đó (tprime = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\{x = 2}end{array}} right.). Ta có, bảng biến thiên
Khi đó (sqrt {f(f(x) + 1) + 1} = f(x) + 2) trở thành:
(sqrt {f(t) + 1} = t + 1 Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}begin{array}{l}t ge – 1\f(t) + 1 = {t^2} + 2t + 1end{array}end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}begin{array}{l}t ge – 1\{t^3} – 4{t^2} – 2t + 1 = 0end{array}end{array}} right.} right.)()
Từ bảng biến thiên ta có
+) Với (t = a in ( – 1;0)), phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.
+) Với (t = b in (0;1)), phương trình (*) có 3 nghiệm phần biệt khác 3 nghiệm trên.
+) Với (t = c in (4;5)), phương trình (*) có 1 nghiệm khác 6 nghiệm trên.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.