[Đề 2023] Cho lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}’\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB=2;AC=\sqrt{3}\). Góc \(\widehat{CA{A}’}={{90}^{0}},\widehat{BA{A}’}={{120}^{0}}\).

Chọn B.

Gọi \(B’,C’\) lần lượt thuộc \(SB,SC\) sao cho \(SB’=a,SC’=a\Rightarrow \Delta AB’C’\) là tam giác đều cạnh \(a.\)

Xét \(\Delta SOA\) có

\(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{C}^{2}}}\)\( =\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}\)\( =\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow {{V}_{SAB’C’}}\)\( =\frac{1}{3}SO.{{S}_{\Delta AB’C’}}\)\( =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)\( =\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\)

Lại có công thức Sin-San.

\(\frac{{{V}_{SAB’C’}}}{{{V}_{SABC}}}\)\( =1.\frac{1}{2}.\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)

\(\Rightarrow {{V}_{SABC}}=8.{{V}_{S.A’B’C’}}\)\( =8.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\frac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}\).