Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng (S{70^o}E) với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Phương pháp giải
a)
Bước 1: Vẽ hình mô tả đường đi từ cảng A, đến nơi mà động cơ hỏng (kí hiệu là B) và hòn đảo (kí hiệu là C) nơi tàu neo đậu.
.JPG)
Bước 2: Tính góc (widehat {ABC}), quãng đường tàu đi được sau 90 phút () và quãng đường tàu trôi tự do ().
Bước 3: Tính khoảng cách từ cảng tới nơi tàu neo đậu (đoạn AC) bằng cách áp dụng định lí cosin tại đỉnh B.
b)
Bước 1: Trên sơ đồ: xác định góc nào là hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Bước 2: Tính sin(widehat {BAC}) dựa vào định lí sin
Bước 3: Suy ra góc cần tính và kết luận.
Hướng dẫn giải
a)
Ta có sơ đồ đường đi như sau:
Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là ví trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.
Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).
Ban đầu tàu di chuyển theo hướng (S{70^o}E) nên (widehat {BAS} = {70^o}). Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam do đó BC song song với AS.
( Rightarrow widehat {ABC} = {180^o} – widehat {BAS} = {110^o})
Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:
70.1,5 = 105 (km) hay c = 105.
Quãng đường tàu trôi tự do là:
8.2 = 16 (km) hay a = 16.
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
({b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac.cos B)
(begin{array}{l} Rightarrow {b^2} = {16^2} + {105^2} – 2.16.105.cos {110^o} approx 12150,632\ Rightarrow b approx 110,23.end{array})
Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 110,23 km.
b)
Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là (S{alpha ^o}E) với ({alpha ^o} = widehat {CAS}).
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
(frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}})( Rightarrow sin A = frac{{a.sin B}}{b})
Mà (widehat B = {110^o}); (b approx 110,23); a = 16.
(begin{array}{l} Rightarrow sin A = frac{{16.sin {{110}^o}}}{{110,23}} approx 0,136\ Rightarrow widehat A approx 7,{84^o}(do;widehat A < {90^o})end{array})
( Rightarrow {alpha ^o} approx {70^o} – 7,{84^o} = 62,{16^o}.)
Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là (S62,{16^o}E).