Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
a) (forall x in mathbb{R},;{x^2} ne 2x – 2)
b) (forall x in mathbb{R},;{x^2} le 2x – 1)
c) (exists x in mathbb{R},;x + frac{1}{x} ge 2)
d) (exists x in mathbb{R},;{x^2} – x + 1 < 0)
Phương pháp giải
+) Phủ định của mệnh đề “(forall x in X,;P(x))” là mệnh đề “(exists x in X,;overline {P(x)} )”
+) Phủ định của mệnh đề “(exists x in X,;P(x))” là mệnh đề “(forall x in X,;overline {P(x)} )”.
Hướng dẫn giải
a) Phủ định của mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;{x^2} ne 2x – 2)” là mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} = 2x – 2)”
Mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} = 2x – 2)” sai vì ({x^2} ne 2x – 2)với mọi số thực x ( vì ({x^2} – 2x + 2 = {(x – 1)^2} + 1 > 0) hay ({x^2} > 2x – 2)).
b) Phủ định của mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;{x^2} le 2x – 1)” là mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} le 2x – 1)”
Mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} le 2x – 1)” đúng vì có (x = 1 in mathbb{R}:{1^2} le 2.1 – 1) hay (1 le 1) (luôn đúng).
c) Phủ định của mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;x + frac{1}{x} ge 2)” là mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;x + frac{1}{x} < 2)”.
Mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;x + frac{1}{x} < 2)” sai vì (x = 2 in mathbb{R}) nhưng (x + frac{1}{x} = 2 + frac{1}{2} > 2).
d) Phủ định của mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} – x + 1 < 0)” là mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;{x^2} – x + 1 ge 0)”.
Mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;{x^2} – x + 1 ge 0)” đúng vì ({x^2} – x + 1 = {left( {x – frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} ge 0) với mọi số thực x.