Giải bài tập SGK Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản – Đại số 11 Cơ bản
1. Giải bài 1 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (small sin (x + 2) =frac{1}{3})
b) (small sin 3x = 1)
c) (small sin (frac{2x}{3} -frac{pi}{3}) =0)
d) (small sin (2x + 20^0) =-frac{sqrt{3}}{2})
Phương pháp giải
(sin x = sin alpha Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = alpha + k2pi }\
{x = pi – alpha + k2pi }
end{array}} right.{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} left( {k in Z} right))
Hướng dẫn giải
Câu a: (sin (x + 2) =frac{1}{3}Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x+2=arcsin frac{1}{3}+k2 pi, k in mathbb{Z}\ \ x+2=pi -arcsin frac{1}{3}+k2 pi, k in mathbb{Z} end{matrix})
(Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=arcsin frac{1}{3}-2+k2 pi, kin mathbb{Z}\ \ x=pi – arcsin frac{1}{3}-2+k2 pi, kin mathbb{Z} end{matrix})
Vậy nghiệm của phương trình là (x=arcsin frac{1}{3}-2+k2 pi (kin mathbb{Z}))
và (x=pi – arcsin frac{1}{3}-2+k2 pi (kin mathbb{Z}))
Câu b: (sin 3x = 1 Leftrightarrow sin3x=sinfrac{pi }{2})
(Leftrightarrow 3x=frac{pi }{2}+k2 pi ,kin mathbb{Z})
(Leftrightarrow x=frac{pi }{6}+frac{k2 pi}{3},(kin mathbb{Z}))
Vậy nghiệm của phương trình là (x=frac{pi }{6}+frac{k2 pi}{3},(kin mathbb{Z}))
Câu c: (sinleft ( frac{2x}{3}-frac{pi }{3} right )=0 Leftrightarrow frac{2x}{3}-frac{pi }{3}= kpi, kin mathbb{Z})
(Leftrightarrow frac{2pi }{3}=frac{pi }{3}+k pi,kin mathbb{Z})
(Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+frac{3kpi }{2}, kin Z)
Vậy nghiệm của phương trình là (x=frac{pi }{2}+k.frac{3pi }{2}, kin Z)
Câu d: (sin(2x+20^0)=-frac{sqrt{3}}{2}Leftrightarrow sin (2x +20^0) = sin(-60^0))
(Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0, kin mathbb{Z}\ \ 2x+20^0=204^0+k360^0, kin mathbb{Z} end{matrix})
(Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=-40^0+k180^0, kin mathbb{Z}\ \ x=110^0+k180^0, kin mathbb{Z} end{matrix})
Vậy nghiệm của phương trình là (x=-40^0+k180^0, (kin mathbb{Z}); x=110^0+k180^0, (kin mathbb{Z}))
2. Giải bài 2 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?
Phương pháp giải
Giải phương trình lượng giác cơ bản (sin 3x = sin x).
Hướng dẫn giải
(x) thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi x là nghiệm của phương trình:
(begin{array}{l}
,,,,,sin 3x = sin x\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
3x = x + k2pi \
3x = pi – x + k2pi
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x = k2pi \
4x = pi + k2pi
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = kpi \
x = frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2}
end{array} right.,,,left( {k in Z} right)
end{array})
Vậy (left[ matrix{
x = kpi hfill cr
x = {pi over 4} + {{kpi } over 2} hfill cr} right.(k inmathbb{Z} )) là nghiệm.
3. Giải bài 3 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (small cos (x – 1) =frac{2}{3})
b) (small cos 3x = cos 12^0)
c) (small cos (frac{3x}{2}-frac{pi}{4})=-frac{1}{2})
d) ({cos ^2}2x = frac{1}{4})
Phương pháp giải
(cos x = cos alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = alpha + k2pi \
x = – alpha + k2pi
end{array} right.,,left( {k in Z} right))
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta có
(begin{array}{l}
,,cos left( {x – 1} right) = frac{2}{3}\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 1 = arccos frac{2}{3} + k2pi \
x – 1 = – arccos frac{2}{3} + k2pi
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = arccos frac{2}{3} + 1 + k2pi \
x = – arccos frac{2}{3} + 1 + k2pi
end{array} right.,,,left( {k in Z} right)\end{array})
Câu b: Ta có
(begin{array}{l},,cos 3x = cos {12^0}\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
3x = {12^0} + k{360^0}\
3x = – {12^0} + k{360^0}
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = {4^0} + k{120^0}\
x = – {4^0} + k{120^0}
end{array} right.,,,left( {k in Z} right)\end{array})
Câu c: Ta có
(begin{array}{l},,cos left( {frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4}} right) = – frac{1}{2}\
Leftrightarrow cos left( {frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4}} right) = cos frac{{2pi }}{3}\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4} = frac{{2pi }}{3} + k2pi \
frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4} = – frac{{2pi }}{3} + k2pi
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
frac{{3x}}{2} = frac{{11pi }}{{12}} + k2pi \
frac{{3x}}{2} = – frac{{5pi }}{{12}} + k2pi
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{{11pi }}{{18}} + frac{{4kpi }}{3}\
x = frac{{ – 5pi }}{{18}} + frac{{4kpi }}{3}
end{array} right.,,,left( {k in Z} right)\end{array})
Câu d: Ta có
(begin{array}{l},,{cos ^2}2x = frac{1}{4}\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 2x = frac{1}{2} = cos frac{pi }{3}\
cos 2x = – frac{1}{2} = cos frac{{2pi }}{3}
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x = pm frac{pi }{3} + k2pi \
2x = pm frac{{2pi }}{3} + k2pi
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = pm frac{pi }{6} + kpi \
x = pm frac{pi }{3} + kpi
end{array} right.,,,left( {k in Z} right)
end{array})
4. Giải bài 4 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải phương trình sau: (small frac{2cos2x}{1-sin2x}=0)
Phương pháp giải
- Tìm ĐKXĐ.
- (dfrac{A}{B} = 0 Rightarrow A = 0)
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: (cos x = cos alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi \x = – alpha + k2pi end{array} right.,,left( {k in Z} right))
Hướng dẫn giải
Điều kiện: (sin 2xneq 1Leftrightarrow 2xneq dfrac{pi }{2}+k2 pi ) (Leftrightarrow xneq dfrac{pi }{4}+k pi(kin mathbb{Z}))
(displaystyle {{2cos 2x} over {1 – sin 2x}} = 0)
(Rightarrow 2cos 2x=0)
( Leftrightarrow cos 2x = 0)
(Leftrightarrow 2x = dfrac{pi }{2} + kpi )
(Leftrightarrow x = dfrac{pi }{4} + dfrac{{kpi }}{2},,left( {k in Z} right))
Kiểm tra ĐK: (dfrac{pi }{4} + dfrac{{kpi }}{2} ne dfrac{pi }{4} + lpi )
( Leftrightarrow dfrac{{kpi }}{2} ne lpi )
( Leftrightarrow dfrac{k}{2} ne l)
(Leftrightarrow k ne 2l)
Hay (k) không thể nhận các giá trị chẵn.
Do đó k lẻ nên (k = 2m + 1).
Vậy (x = dfrac{pi }{4} + dfrac{{left( {2m + 1} right)pi }}{2} = dfrac{{3pi }}{4} + mpi ).
Vậy phương trình có nghiệm (x = dfrac{{3pi }}{4} + mpi ,min Z ).
5. Giải bài 5 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (small tan (x – {15^0}) = frac{sqrt{3}}{3})
b) (small cot (3x – 1) = -sqrt{3})
c) (small cos 2x . tan x = 0)
d) (small sin 3x . cot x = 0)
Phương pháp giải
(begin{array}{l}
,,tan x = tan a Leftrightarrow x =a + k180^0 \ left( {k in Z} right)\end{array})
(begin{array}{l},,cot x = cot alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,,,left( {k in Z} right)\end{array})
(begin{array}{l},,AB = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
A = 0\
B = 0
end{array} right.
end{array})
Hướng dẫn giải
Câu a: Điều kiện (x – 15^0neq 90^0+k180^0) hay (xneq 105^0+k.180^0.)
(tan (x – 15^0) = frac{sqrt{3}}{3}Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0), với điều kiện:
Ta có phương trình (tan (x – 15^0) = tan30^0)
(Leftrightarrow x – 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k in mathbb{Z}).)
(Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k in mathbb{Z}).) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: (x = 45^0 + k180^0 , (k in mathbb{Z}).)
Câu b: (cot (3x – 1) = -sqrt{3}), với điều kiện (3x-1neq kpi (kin mathbb{Z})) hay (xneq frac{1+k pi}{3}(kin mathbb{Z}))
Ta có phương trình (cot (3x – 1) = cot(-frac{pi }{6}))
(Leftrightarrow 3x-1=-frac{5pi }{6}+k pi, kin mathbb{Z})
(Leftrightarrow x=frac{1}{3}-frac{pi }{18}+k.frac{pi }{3},(kin mathbb{Z})) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là (x=frac{1}{3}-frac{pi }{18}+k.frac{pi }{3},(kin mathbb{Z}))
Câu c: (cos2x.tanx=0 Leftrightarrow cos 2x.frac{{sin x}}{{cos x}} = 0), với điều kiện (cosxneq 0)
(Leftrightarrow xneq frac{pi }{2}+kpi (kin mathbb{Z})), ta có phương trình: (cos2x . sinx = 0)
(Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} cos2x=0\ sin2x=0 end{matrix}Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} 2x=frac{pi }{2}+kpi \ x=kpi end{matrix}(kin mathbb{Z}))
(Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{4}+k.frac{pi }{2}\ x=k pi end{matrix}(kin mathbb{Z})) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là: (x=frac{pi }{4}+k.frac{pi }{2}(kin mathbb{Z})) hoặc (x=kpi (kin mathbb{Z}))
Câu d: (sin 3x . cot x = 0 Leftrightarrow sin 3x.frac{{cos x}}{{sin x}} = 0), với điều kiện (sinxneq 0Leftrightarrow xneq k.2pi (kin mathbb{Z}))
Ta có phương trình sin3x.cos = 0
(Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} sin3x=0\ cosx=0 end{matrix}Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} 3x=k2pi\ x=frac{pi }{2}+kpi end{matrix} (kin mathbb{Z}))
(Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{k2 pi}{3}\ \ x=frac{pi }{2}+k pi end{matrix}(k in mathbb{Z}))
So sánh với điều kiện ta thấy khi (k = 3m,m in mathbb{Z}) thì (x = 2mpi Rightarrow sin x = 0) không thỏa điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm là: (x=frac{k2 pi}{3}) và (x=frac{pi }{2}+k pi (k neq 3m, min mathbb{Z}))
6. Giải bài 6 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số (small y = tan ( frac{pi}{4}- x)) và (small y = tan2x) bằng nhau?
Hướng dẫn giải
Giá trị của các hàm số: (tanleft ( frac{pi }{4}-x right )) và (y=tan 2x) bằng nhau khi:
Ta có (tanleft ( frac{pi }{4}-x right )=tan2x Rightarrow 2x=frac{pi }{4}-x+kpi)
(Rightarrow x=frac{pi }{12}+frac{kpi}{3}(kneq 3m-1,min mathbb{Z}))
Vậy phương trình có nghiệm (x=frac{pi }{12}+frac{kpi}{3}(kneq 3m-1,min mathbb{Z}))
7. Giải bài 7 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) (sin 3x – cos 5x = 0)
b) (small tan 3x . tan x = 1)
Phương pháp giải
a) Chuyển vế, sử dụng công thức (sin x = cos left( {frac{pi }{2} – x} right)) đưa phương trình về dạng (cos alpha = cos beta Leftrightarrow left[ begin{array}{l}alpha = beta + k2pi \alpha = – beta + k2pi end{array} right.,,left( {k in Z} right))
b) Tìm ĐKXĐ.
Sử dụng các công thức: (frac{1}{{tan x}} = cot x = tan left( {frac{pi }{2} – x} right)) đưa phương trình về dạng (tan alpha = tan beta Leftrightarrow alpha = beta + kpi ,,left( {k in Z} right))
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta có
(begin{array}{l},,sin 3x – cos 5x = 0\Leftrightarrow cos 5x=sin 3x = cos left( {frac{pi }{2} – 3x} right)\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}5x = frac{pi }{2} – 3x + k2pi \5x = – frac{pi }{2} + 3x + k2pi end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}8x = frac{pi }{2} + k2pi \2x = – frac{pi }{2} + k2pi end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{{16}} + frac{{kpi }}{4}\x = – frac{pi }{4} + kpi end{array} right.,,,left( {k in Z} right)end{array})
Vậy nghiệm phương trình là: (x=frac{pi }{16}+frac{kpi }{4} (kin Z)) và (x=-frac{pi }{4} +kpi, (kin mathbb{Z}))
Câu b: Điều kiện:
(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}cos 3x ne 0\cos x ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3x ne frac{pi }{2} + kpi \x ne frac{pi }{2} + kpi end{array} right.\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ne frac{pi }{6} + frac{{kpi }}{3}\x ne frac{pi }{2} + kpi end{array} right. Rightarrow x ne frac{pi }{6} + frac{{kpi }}{3},,left( {k in Z} right)end{array})
(begin{array}{l}tan 3xtan x = 1\Leftrightarrow tan 3x = frac{1}{{tan x}} \ Leftrightarrow tan 3x = cot x \ Leftrightarrow tan 3x = tan left( {frac{pi }{2} – x} right)\ Leftrightarrow 3x = frac{pi }{2} – x + kpi \Leftrightarrow 4x = frac{pi }{2} + kpi \Leftrightarrow x = frac{pi }{8} + frac{{kpi }}{4},,,left( {k in Z} right),,,left( {tm} right)end{array})
Vậy nghiệm phương trình là (x=frac{pi }{8}+frac{k pi }{4}, )(k in mathbb{Z}).