Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối) – Sách Toán


adsense

Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)
————-

Giải bài 4.27 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. (overrightarrow u  = (2;3)) và (overrightarrow v  = left( {frac{1}{2};6} right))

B. (overrightarrow a  = (sqrt 2 ;6)) và (overrightarrow b  = (1;3sqrt 2 ))

C. (overrightarrow i  = (0;1)) và (overrightarrow j  = (1;0))

D. (overrightarrow c  = (1;3)) và (overrightarrow d  = (2; – 6))

Phương pháp giải

Cho (overrightarrow a  = (x;y)) và (overrightarrow b  = (z,t)) ((z,t ne 0))

+) Nếu (frac{x}{z} = frac{y}{t} = k) thì (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng phương

+) Nếu (frac{x}{z} ne frac{y}{t}) thì (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) không cùng phương.

Hướng dẫn giải

A. Ta có: (frac{2}{{frac{1}{2}}} = 4 ne frac{3}{6}) nên (overrightarrow u ) và (overrightarrow v ) không cùng phương.

B.  Ta có: (frac{{sqrt 2 }}{1} = frac{6}{{3sqrt 2 }} = sqrt 2  > 0) nên (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng phương, hơn nữa là cùng hướng

Chọn đáp án B.

C. Ta có: (overrightarrow i .overrightarrow j  = 0.1 + 1.0 = 0 Rightarrow overrightarrow i  bot overrightarrow j )

Vậy (overrightarrow i ) và (overrightarrow j ) không cùng phương.

D. Ta có: (frac{1}{2} ne frac{3}{{ – 6}}) nên (overrightarrow c ) và (overrightarrow d ) không cùng phương.

Giải bài 4.28 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. (overrightarrow u  = (2;3)) và (overrightarrow v  = left( {4;6} right))

B. (overrightarrow a  = (1; – 1)) và (overrightarrow b  = ( – 1;1))

C. (overrightarrow z  = (a;b)) và (overrightarrow t  = ( – b;a))

D. (overrightarrow n  = (1;1)) và (overrightarrow k  = (2;0))

Phương pháp giải

+) Cho (overrightarrow u ;(x;y),;overrightarrow v ;(z;t)) thì (overrightarrow u .overrightarrow v  = x.z + y.t)

+) (overrightarrow u; botoverrightarrow vLeftrightarrow overrightarrow u .;overrightarrow v = 0)

Hướng dẫn giải

A. Ta có: (overrightarrow u .overrightarrow v  = 2.4 + 3.6 = 26 ne 0) nên (overrightarrow u ) và (overrightarrow v ) không vuông góc với nhau.

B.  Ta có: (overrightarrow a .overrightarrow b  = 1.( – 1) + ( – 1).1 =  – 2 ne 0) nên (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) không vuông góc với nhau.

C. Ta có: (overrightarrow z .overrightarrow t  = a.( – b) + b.a = 0) nên (overrightarrow z ) và (overrightarrow t ) vuông góc với nhau.

D. Ta có: (overrightarrow n .overrightarrow k  = 1.2 + 1.0 = 2 ne 0) nên (overrightarrow n ) và (overrightarrow k ) không vuông góc với nhau.

Chọn đáp án C

Giải bài 4.29 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. (overrightarrow a  = (1;1))

B. (overrightarrow b  = (1; – 1))

C. (overrightarrow c  = left( {2;frac{1}{2}} right))

D. (overrightarrow d  = left( {dfrac{1}{{sqrt 2 }};dfrac{{ – 1}}{{sqrt 2 }}} right))

Phương pháp giải

Tính độ dài vectơ (overrightarrow a ;(x;y)) theo công thức: (|overrightarrow a |, = sqrt {{x^2} + {y^2}} ).

Hướng dẫn giải

A. Ta có: (overrightarrow a  = (1;1) Rightarrow ;|overrightarrow a |; = sqrt {{1^2} + {1^2}}  = sqrt 2  ne 1). (Loại)

B. Ta có: (overrightarrow b  = (1; – 1) Rightarrow ;|overrightarrow b |; = sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2}}  = sqrt 2  ne 1). (Loại)

C. Ta có: (overrightarrow c  = left( {2;dfrac{1}{2}} right) Rightarrow ;|overrightarrow c |; = sqrt {{2^2} + {{left( {dfrac{1}{2}} right)}^2}}  = dfrac{{sqrt {17} }}{2} ne 1). (Loại)

D. Ta có: (overrightarrow d  = left( {dfrac{1}{{sqrt 2 }};frac{{ – 1}}{{sqrt 2 }}} right) Rightarrow ;|overrightarrow a |; = sqrt {{{left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)}^2} + {{left( {frac{{11}}{{sqrt 2 }}} right)}^2}}  = 1). (Thỏa mãn yc)

Chọn D

Giải bài 4.30 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Góc giữa vectơ (overrightarrow a  = left( {1; – 1} right)) và vectơ (overrightarrow b  = ( – 2;0)) có số đo bằng:

A. ({90^o})

B. ({0^o})

C. ({135^o})

D. ({45^o})

Phương pháp giải

Tính (overrightarrow a .overrightarrow b ).

+) Nếu (overrightarrow a .overrightarrow b  = 0) thì góc giữa 2 vectơ bằng ({90^o}).

+) Nếu (overrightarrow a .overrightarrow b  ne 0) thì  (cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{overrightarrow a .overrightarrow b }}{{|overrightarrow a |.;|overrightarrow b |}})

Hướng dẫn giải

Ta có: (overrightarrow a .overrightarrow b  = 1.( – 2) + ( – 1).0 =  – 2 ne 0).

Lại có: (|overrightarrow a | = sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2}}  = sqrt 2 ;;|overrightarrow b | = sqrt {{{( – 2)}^2} + {0^2}}  = 2.)

( Rightarrow cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{overrightarrow a .overrightarrow b }}{{|overrightarrow a |.;|overrightarrow b |}} = frac{{ – 2}}{{sqrt 2 .2}} = frac{{ – sqrt 2 }}{2})

( Rightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {135^o})

Chọn C

Giải bài 4.31 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (( {overrightarrow a .overrightarrow b } )overrightarrow c  = overrightarrow a ,,( {overrightarrow b .overrightarrow c }))

B. ({( {overrightarrow a .overrightarrow b })^2} = {overrightarrow a ^2},.,{overrightarrow b ^2})

C. (overrightarrow a .overrightarrow b  = | {overrightarrow a } |.left| {overrightarrow b } right|,sin ( {overrightarrow a ,overrightarrow b } ))

D. (overrightarrow a ,,( {overrightarrow b  – overrightarrow c }) = overrightarrow a .overrightarrow b  – overrightarrow a .,overrightarrow c )

Phương pháp giải

(overrightarrow a .overrightarrow b  = | {overrightarrow a }|.| {overrightarrow b }|,cos ( {overrightarrow a ,overrightarrow b }))

Hướng dẫn giải

Chọn D. Đây là một tính chất của tích vô hướng.

A. Sai vì (({overrightarrow a .overrightarrow b})overrightarrow c  = [ {|overrightarrow a |.|overrightarrow b |;,cos ( {overrightarrow a ,overrightarrow b } )} ].overrightarrow c  ne )(overrightarrow a ,,( {overrightarrow b .overrightarrow c }) = overrightarrow a ,,[ {|overrightarrow b |.|overrightarrow c |;,cos ( {overrightarrow b ,overrightarrow c })}])

B. Sai vì ((overrightarrow a .overrightarrow b)^2 = {[{overrightarrow a .overrightarrow b  = | {overrightarrow a } |.| {overrightarrow b }|,cos ( {overrightarrow a ,overrightarrow b })}]^2} = {overrightarrow a ^2},.,{overrightarrow b ^2}.{cos ^2}( {overrightarrow a ,overrightarrow b } ))( ne ;;{overrightarrow a ^2},.,{overrightarrow b ^2})

C. Sai vì (overrightarrow a .overrightarrow b = | {overrightarrow a }|.| {overrightarrow b } |,cos ( {overrightarrow a ,overrightarrow b }) ne | {overrightarrow a }|.| {overrightarrow b }|,sin ( {overrightarrow a ,overrightarrow b })) 

Giải bài 4.32 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {BD} } right) = {45^o})

B. (left( {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BC} } right) = {45^o}) và (overrightarrow {AC} .overrightarrow {BC}  = {a^2})

C. (overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD}  = {a^2}sqrt 2 )

D. (overrightarrow {BA} .overrightarrow {BD}  =  – {a^2})

Phương pháp giải

Tính tích vô hướng bằng công thức: (overrightarrow a .overrightarrow b  = left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|,cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right)).

Hướng dẫn giải

A. Ta có: (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {BD} } right) = left( {overrightarrow {BE} ,overrightarrow {BD} } right) = {135^o} ne {45^o}.) Vậy A sai.

 Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

B. Ta có: (left( {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BC} } right) = left( {overrightarrow {CF} ,overrightarrow {CG} } right) = {45^o}) và  (overrightarrow {AC} .overrightarrow {BC}  = AC.BC.cos {45^o} = asqrt 2 .a.frac{{sqrt 2 }}{2} = {a^2}.)

Vậy B đúng.

 Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

C. Dễ thấy (AC bot BD) nên (overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD}  = 0 ne {a^2}sqrt 2.) Vậy C sai.

 Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

D. Ta có: (left( {overrightarrow {BA} .overrightarrow {BD} } right) = {45^o}) ( Rightarrow overrightarrow {BA} .overrightarrow {BD}  = BA.BD.cos {45^o} = a.asqrt 2 .frac{{sqrt 2 }}{2} = {a^2} ne  – {a^2}.) Vậy D sai.

 Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

Chọn B

Giải bài 4.33 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3 MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ (overrightarrow {MB} ) và (overrightarrow {MC} )

b) Biểu thị vectơ (overrightarrow {AM} ) theo hai vectơ (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {AC} ).

Phương pháp giải

+) Nếu (MB = k.MC) và (overrightarrow {MB} ) và (overrightarrow {MC} ) ngược hướng thì  (overrightarrow {MB} = -k.overrightarrow {MC}) 

+) (overrightarrow {AM}  = overrightarrow {AB}  + overrightarrow {BM} ) (quy tắc cộng)

+) (overrightarrow {BC}  = overrightarrow {AC}  – overrightarrow {AB} ) (quy tắc hiệu)

Hướng dẫn giải

Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

a)  M thuộc cạnh BC nên vectơ (overrightarrow {MB} ) và (overrightarrow {MC} ) ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC ( Rightarrow overrightarrow {MB}  =  – 3.overrightarrow {MC} )

b) Ta có: (overrightarrow {AM}  = overrightarrow {AB}  + overrightarrow {BM} )

Mà (BM = dfrac{3}{4}BC) nên (overrightarrow {BM}  = dfrac{3}{4}overrightarrow {BC} )

( Rightarrow overrightarrow {AM}  = overrightarrow {AB}  + dfrac{3}{4}overrightarrow {BC} )

Lại có: (overrightarrow {BC}  = overrightarrow {AC}  – overrightarrow {AB} ) (quy tắc hiệu)

( Rightarrow overrightarrow {AM}  = overrightarrow {AB}  + dfrac{3}{4}left( {overrightarrow {AC}  – overrightarrow {AB} } right) = dfrac{1}{4}.overrightarrow {AB}  + dfrac{3}{4}.overrightarrow {AC} )

Vậy (overrightarrow {AM}  = dfrac{1}{4}.overrightarrow {AB}  + dfrac{3}{4}.overrightarrow {AC} )

Giải bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

(overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MC}  = overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MD} ).

Phương pháp giải

ABCD là hình bình hành thì: (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {DC} )

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình bình hành nên (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {DC} )

(begin{array}{l} Rightarrow overrightarrow {AM}  + overrightarrow {MB}  = overrightarrow {DM}  + overrightarrow {MC} \ Leftrightarrow  – overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MB}  =  – overrightarrow {MD}  + overrightarrow {MC} \ Leftrightarrow overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MC}  = overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MD} end{array})

Cách 2:

Ta có: (overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MC}  = overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MD}  Leftrightarrow overrightarrow {MA}  – overrightarrow {MB}  = overrightarrow {MD}  – overrightarrow {MC} ) (*)

Áp dụng quy tắc hiệu ta có: (overrightarrow {MA}  – overrightarrow {MB}  = overrightarrow {BA} ;;;overrightarrow {MD}  – overrightarrow {MC}  = overrightarrow {CD} )

Do đó (*) ( Leftrightarrow overrightarrow {BA}  = overrightarrow {CD} ) (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)

Cách 3:

Ta có:

adsense

(overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MC}  = overrightarrow {MB}  + overrightarrow {BA}  + overrightarrow {MD}  + overrightarrow {DC}  = overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MD}  + left( {overrightarrow {BA}  + overrightarrow {DC} } right))

Vì ABCD là hình bình hành nên (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {DC} )( Rightarrow  – overrightarrow {BA}  = overrightarrow {DC} ) hay (overrightarrow {BA}  + overrightarrow {DC}  = overrightarrow 0 )

( Rightarrow overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MC}  = overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MD} ) (đpcm)

Giải bài 4.35 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ (overrightarrow {BA} ) và (overrightarrow {BC} )

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Phương pháp giải

a) Tọa độ của vectơ: (overrightarrow {BA}  = ({x_A} – {x_B};{y_A} – {y_B}))

b) Tính (overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} =0 ), chỉ ra góc vuông trong tam giác ABC.

c) Công thức tọa độ của trọng tâm G là (left( {frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} right))

d) BCAD là một hình bình hành ( Leftrightarrow overrightarrow {BC}  = overrightarrow {AD} )

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  (overrightarrow {BA}  = (2 – ( – 2);1 – 5) = (4; – 4)) và (overrightarrow {BC}  = ( – 5 – ( – 2);2 – 5) = ( – 3; – 3))

b)

Ta có: (overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC}  = 4.( – 3) + ( – 4).( – 3) = 0)

( Rightarrow overrightarrow {BA}  bot overrightarrow {BC} ) hay (widehat {ABC} = {90^o})

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Lại có: (AB = left| {overrightarrow {BA} } right| = sqrt {{4^2} + {{( – 4)}^2}}  = 4sqrt 2 ); (BC = left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {{3^2} + {{( – 3)}^2}}  = 3sqrt 2 )

Và (AC = sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5sqrt 2 ) (do (Delta ABC)vuông tại B).

Diện tích tam giác ABC là: ({S_{ABC}} = frac{1}{2}.AB.BC = frac{1}{2}.4sqrt 2 .3sqrt 2  = 12)

Chu vi tam giác ABC là: (AB + BC + AC = 4sqrt 2  + 3sqrt 2  + 5sqrt 2  = 12sqrt 2 )

c) Tọa độ của trọng tâm G là (left( {frac{{2 + ( – 2) + ( – 5)}}{3};frac{{1 + 5 + 2}}{3}} right) = left( {frac{{ – 5}}{3};frac{8}{3}} right))

d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).

Ta có: (overrightarrow {BC}  = ( – 3; – 3)) và (overrightarrow {AD}  = (a – 2;b – 1))

Vì BCAD là một hình bình hành  nên (overrightarrow {AD}  = overrightarrow {BC} )

(begin{array}{l} Leftrightarrow (a – 2;b – 1) = ( – 3; – 3)\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a – 2 =  – 3\b – 1 =  – 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a =  – 1\b =  – 2end{array} right.end{array})

Vậy D có tọa độ (-1; -2)

Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5).

a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {CD} )

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {CD} ) cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ (overrightarrow {AC} ) và (overrightarrow {BE} ) cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ (overrightarrow {AE} ) theo các vectơ (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {AC} ).

Phương pháp giải

a) Tọa độ của vectơ: (overrightarrow {AB}  = ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}))

b) Tìm (k ne 0) sao cho: (overrightarrow {AB}  = k.overrightarrow {CD} )

c) Vectơ (overrightarrow u ,(a;b)) và (overrightarrow v ,(x;y))((x;y ne 0)) cùng phương ( Leftrightarrow frac{a}{x} = frac{b}{y}) ((x;y ne 0))

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  (overrightarrow {AB}  = (3 – 1;4 – 2) = (2;2)) và (overrightarrow {CD}  = (6 – ( – 1);5 – ( – 2)) = (7;7))

b) Dễ thấy: ((2;2) = frac{2}{7}.(7;7))( Rightarrow overrightarrow {AB}  = frac{2}{7}.overrightarrow {CD} )

Vậy hai vectơ (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {CD} ) cùng phương.

c) Ta có: (overrightarrow {AC}  = ( – 1 – 1; – 2 – 2) = ( – 2; – 4)) và (overrightarrow {BE}  = (a – 3;1 – 4) = (a – 3; – 3))

Để (overrightarrow {AC} ) và (overrightarrow {BE} ) cùng phương thì (frac{{a – 3}}{{ – 2}} = frac{{ – 3}}{{ – 4}})( Leftrightarrow a – 3 =  – frac{3}{2})( Leftrightarrow a = frac{3}{2})

Vậy (a = frac{3}{2}) hay (Eleft( {frac{3}{2};1} right)) thì hai vectơ (overrightarrow {AC} ) và (overrightarrow {BE} ) cùng phương 

Cách 1:

Ta có: (overrightarrow {BE}  = left( {frac{3}{2} – 3; – 3} right) = left( { – frac{3}{2}; – 3} right)) ; (overrightarrow {AC}  = ( – 2; – 4))

( Rightarrow overrightarrow {BE}  = frac{3}{4}.overrightarrow {AC} )

Mà (overrightarrow {AE}  = overrightarrow {AB}  + overrightarrow {BE} ) (quy tắc cộng)

( Rightarrow overrightarrow {AE}  = overrightarrow {AB}  + frac{3}{4}.overrightarrow {AC} )

Cách 2:

Giả sử (overrightarrow {AE}  = m,.,overrightarrow {AB}  + n,.,overrightarrow {AC} )(*)

Ta có:  (overrightarrow {AE}  = left( {frac{1}{2}; – 1} right)), (m,.,overrightarrow {AB}  = mleft( {2;2} right) = (2m;2m)), (n,.,overrightarrow {AC}  = n( – 2; – 4) = ( – 2n; – 4n))

Do đó (*) ( Leftrightarrow left( {frac{1}{2}; – 1} right) = (2m;2m) + ( – 2n; – 4n))

(begin{array}{l} Leftrightarrow left( {frac{1}{2}; – 1} right) = (2m – 2n;2m – 4n)\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}frac{1}{2} = 2m – 2n\ – 1 = 2m – 4nend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = 1\n = frac{3}{4}end{array} right.end{array})

Vậy (overrightarrow {AE}  = overrightarrow {AB}  + frac{3}{4}.overrightarrow {AC} )

Giải bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho vectơ (overrightarrow a  ne overrightarrow 0 ). Chứng minh rằng (frac{1}{{|overrightarrow a |}};overrightarrow a ) (hay còn được viết là (frac{{overrightarrow a }}{{|overrightarrow a |}})) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ (overrightarrow a ). 

Phương pháp giải

Nhắc lại kiến thức: k(vec a) cùng hướng với (vec a)

 nếu k > 0.

Ta có: (k = frac{1}{{left| {vec a} right|}} > 0left( {vec a ne vec 0} right))

Do đó (frac{1}{{left| {vec a} right|}}.vec a) cùng hướng với (vec a) hay (frac{{vec a}}{{left| {vec a} right|}}) cùng hướng với (vec a)

.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ của vectơ (overrightarrow a ) là (x; y).

Ta có: (|overrightarrow a |, = sqrt {{x^2} + {y^2}} ).

Đặt (overrightarrow i  = frac{1}{{|overrightarrow a |}};.overrightarrow a )

( Rightarrow overrightarrow i  = frac{1}{{sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = left( {frac{x}{{sqrt {{x^2} + {y^2}} }};frac{y}{{sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} right))

( Rightarrow |overrightarrow i |, = sqrt {{{left( {frac{x}{{sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} right)}^2} + {{left( {frac{y}{{sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} right)}^2}}  = sqrt {frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}}  = 1)

Mặt khác:

 (overrightarrow i  = frac{1}{{|overrightarrow a |}};.overrightarrow a  = frac{1}{{sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.overrightarrow a ) và (frac{1}{{sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0) với mọi (x,y ne 0)

Do đó vectơ (overrightarrow i ) và (overrightarrow a ) cùng hướng.

Vậy (frac{1}{{|overrightarrow a |}};overrightarrow a ) (hay (frac{{overrightarrow a }}{{|overrightarrow a |}})) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ (overrightarrow a ).

Cách 2:

Với mọi vectơ (overrightarrow a  ne overrightarrow 0 ), ta có:  (|overrightarrow a |; > 0 Rightarrow k = frac{1}{{|overrightarrow a |}} > 0). Đặt (overrightarrow i  = frac{1}{{|overrightarrow a |}};.overrightarrow a  = k.overrightarrow a ) 

(begin{array}{l} Rightarrow |overrightarrow i |, = ;|k.overrightarrow a |; = ;|k|.|overrightarrow a |;\ Leftrightarrow left| {overrightarrow {,i} ,} right| = k.|overrightarrow a |; = frac{1}{{|overrightarrow a |}}.|overrightarrow a | = 1end{array})

Mặt khác: (overrightarrow i  = frac{1}{{|overrightarrow a |}};.overrightarrow a  = k.overrightarrow a ) và (k > 0)

Do đó vectơ (overrightarrow i ) và (overrightarrow a ) cùng hướng.

Vậy (frac{1}{{|overrightarrow a |}};overrightarrow a ) (hay (frac{{overrightarrow a }}{{|overrightarrow a |}})) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ (overrightarrow a ).

Giải bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho ba vectơ (overrightarrow a ,;overrightarrow b ,;overrightarrow u ) với (|overrightarrow a |; = ;,|overrightarrow b |; = 1) và (overrightarrow a  bot overrightarrow b ). Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị (overrightarrow i  = overrightarrow a ,;overrightarrow j  = overrightarrow b .) Chứng minh rằng:

a) Vectơ (overrightarrow u ) có tọa độ là ((overrightarrow u ,.,overrightarrow a ,;,overrightarrow u ,.,overrightarrow b ))

b) (overrightarrow u  = (overrightarrow u ,.,overrightarrow a ,).overrightarrow a  + (,overrightarrow u ,.,overrightarrow b ).overrightarrow b )

Phương pháp giải

a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ (overrightarrow u )

+) (overrightarrow u ,.,overrightarrow a = |overrightarrow u| ,.,|overrightarrow a|. cos(overrightarrow u ,.,overrightarrow a) )

b) Vectơ (overrightarrow u ) có tọa độ ((x,;y)) trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị (overrightarrow i ;;overrightarrow j ) thì (overrightarrow u  = x,.,overrightarrow i  + y.,overrightarrow j )

Hướng dẫn giải

Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho (overrightarrow {OA}  = overrightarrow a ;;overrightarrow {OB}  = overrightarrow b ;;overrightarrow {OC}  = overrightarrow u )

Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị (overrightarrow i  = overrightarrow a ,;overrightarrow j  = overrightarrow b ), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

Gọi tọa độ của (overrightarrow u )là (left( {x;y} right)). Đặt (alpha  = left( {overrightarrow u ,overrightarrow a } right)).

+) Nếu ({0^o} < alpha  < {90^o}): (x = OM = ;|overrightarrow u |.cos alpha  = ;|overrightarrow u |.cos alpha .;|overrightarrow a |; = overrightarrow u ,.,overrightarrow a ,;)

 Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

+) Nếu ({90^o} < alpha  < {180^o}): (x =  – OM = ; – |overrightarrow u |.cos ({180^o} – alpha ) = ;|overrightarrow u |.cos alpha ; = overrightarrow u ,.,overrightarrow a ,;)

 Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

Như vậy ta luôn có: (x = overrightarrow u .overrightarrow a )

Chứng minh tương tự, ta có: (y = overrightarrow u .overrightarrow b )

Vậy vectơ (overrightarrow u ) có tọa độ là ((overrightarrow u ,.,overrightarrow a ,;,overrightarrow u ,.,overrightarrow b ))

b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị (overrightarrow i  = overrightarrow a ,;overrightarrow j  = overrightarrow b ), vectơ (overrightarrow u ) có tọa độ là ((overrightarrow u ,.,overrightarrow a ,;,overrightarrow u ,.,overrightarrow b ))

(begin{array}{l} Rightarrow overrightarrow u  = (overrightarrow u ,.,overrightarrow a ,).overrightarrow i  + (,overrightarrow u ,.,overrightarrow b ).overrightarrow j \ Leftrightarrow overrightarrow u  = (overrightarrow u ,.,overrightarrow a ,).overrightarrow a  + (,overrightarrow u ,.,overrightarrow b ).overrightarrow b end{array})

Giải bài 4.39 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng (S{15^o}E) với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Phương pháp giải

Định lí cosin trong tam giác OAC: (A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} – 2.OA.OC.cos widehat {AOC})

Hướng dẫn giải

Lấy các điểm: A, C sao cho:

Vectơ vận tốc dòng nước(overrightarrow {{v_n}}  = overrightarrow {OA} )

Vectơ vận tốc chuyển động (overrightarrow {{v_{cano}}}  = overrightarrow {OC} )

Ta có: (overrightarrow {{v_{cano}}}  = overrightarrow {{v_n}}  + overrightarrow v ), với (overrightarrow v ) là vectơ vận tốc riêng của cano.

Gọi B là điểm sao cho (overrightarrow v  = overrightarrow {OB} ) thì OACB là hình bình hành.

 Giải bài tập Cuối chương 4 (Kết nối)

Vì tàu chuyển động theo hướng (S{15^o}E) nên vectơ (overrightarrow {OC} ) tạo với hướng Nam (tia OS) góc ({15^o}) và tạo với hướng Đông (tia OE) góc ({90^o} – {15^o} = {75^o}).

Mà nước trên sông chảy về hướng đông nên vectơ (overrightarrow {OA} ) cùng hướng với vectơ (overrightarrow {OE} )

Do đó góc tạo bởi vectơ (overrightarrow {OC} ) và vectơ (overrightarrow {OA} ) là ({75^o})

Xét tam giác OAC ta có:

(OA = ;|overrightarrow {{v_n}} |; = 3); (OC = ;|overrightarrow {{v_{cano}}} |; = 20) và (widehat {AOC} = {75^o})

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh O ta được:

(begin{array}{l}A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} – 2.OA.OC.cos widehat {AOC}\ Leftrightarrow A{C^2} = {3^2} + {20^2} – 2.3.20.cos {75^o} approx 378\ Leftrightarrow OB = AC approx 19,44end{array})

Vậy vận tốc riêng của cano là 19,44 km/h



Link Hoc va de thi 2021

Chuyển đến thanh công cụ