Giải bài tập Cuối chương 4 – Toán 10 (Chân trời)
=========
Giải bài 1 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Cho tam giác ABC. Biết (a = 49,4;b = 26,4;widehat C = {47^ circ }20′.) Tính hai góc (widehat A,widehat B) và cạnh c.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
Bước 1: Tính cạnh c: Áp dụng định lí cosin: ({c^2} = {b^2} + {a^2} – 2abcos C)
Bước 2: Tính hai góc (widehat A,widehat B): Áp dụng định lí sin: (frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}})
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có: (begin{array}{l}{c^2} = {b^2} + {a^2} – 2abcos C\ Leftrightarrow {c^2} = 26,{4^2} + 49,{4^2} – 2.26,4.49,4cos {47^ circ }20’\ Rightarrow c approx 37end{array})
Áp dụng định lí sin, ta có: (frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}})
(begin{array}{l} Leftrightarrow frac{{49,4}}{{sin A}} = frac{{26,4}}{{sin B}} = frac{{37}}{{sin {{47}^ circ }20′}}\ Rightarrow sin A = frac{{49,4.sin {{47}^ circ }20′}}{{37}} approx 0,982 Rightarrow widehat A approx {79^ circ }\ Rightarrow widehat B approx {180^ circ } – {79^ circ } – {47^ circ }20′ = {53^ circ }40’end{array})
============
Giải bài 2 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Cho tam giác ABC. Biết (a = 24,b = 13,c = 15.) Tính các góc (widehat A,widehat B,widehat C.)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
Áp dụng hệ quả của định lí cosin: (cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};cos B = frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}};cos C = frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}})
Từ đó suy ra các góc (widehat A,widehat B,widehat C.)
Lời giải chi tiết
Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
(begin{array}{l}cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};cos B = frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}\ Rightarrow cos A = frac{{{{13}^2} + {{15}^2} – {{24}^2}}}{{2.13.15}} = – frac{7}{{15}};cos B = frac{{{{24}^2} + {{15}^2} – {{13}^2}}}{{2.24.15}} = frac{{79}}{{90}}\ Rightarrow widehat A approx 117,{8^ circ },widehat B approx 28,{6^o}\ Rightarrow widehat C approx 33,{6^o}end{array})
===========
Giải bài 3 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Cho tam giác ABC có (a = 8,b = 10,c = 13.) Tính các góc (widehat A,widehat B,widehat C.)
a) Tam giác ABC có góc tù không?
b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3
Phương pháp giải
a)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin: (cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};cos B = frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}};cos C = frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}})
Từ đó suy ra các góc (widehat A,widehat B,widehat C.)
b) +) Tính AM: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM:
(A{M^2} = A{C^2} + C{M^2} – 2.AC.CM.cos C)
+) Tính diện tích:
Áp dụng công thức heron: (S = sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} )
+) Tính R: Áp dụng định lí sin: (frac{c}{{sin C}} = 2R Rightarrow R = frac{c}{{2sin C}})
c) Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD:
(B{D^2} = C{D^2} + C{B^2} – 2.CD.CB.cos widehat {BCD})
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
(begin{array}{l}cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};cos B = frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}cos A = frac{{{{10}^2} + {{13}^2} – {8^2}}}{{2.10.13}} = frac{{41}}{{52}} > 0;\cos B = frac{{{8^2} + {{13}^2} – {{10}^2}}}{{2.8.13}} = frac{{133}}{{208}} > 0\cos C = frac{{{8^2} + {{10}^2} – {{13}^2}}}{{2.8.13}} = – frac{1}{{32}} < 0end{array} right.end{array})
( Rightarrow widehat C approx 91,{79^ circ } > {90^ circ }), tam giác ABC có góc C tù.
b)
+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:
(begin{array}{l}A{M^2} = A{C^2} + C{M^2} – 2.AC.CM.cos C\ Leftrightarrow A{M^2} = {8^2} + {5^2} – 2.8.5.left( { – frac{1}{{32}}} right) = 91,5\ Rightarrow AM approx 9,57end{array})
+) Ta có: (p = frac{{8 + 10 + 13}}{2} = 15,5).
Áp dụng công thức heron, ta có: (S = sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} = sqrt {15,5.(15,5 – 8).(15,5 – 10).(15,5 – 13)} approx 40)
+) Áp dụng định lí sin, ta có:
(frac{c}{{sin C}} = 2R Rightarrow R = frac{c}{{2sin C}} = frac{{13}}{{2.sin 91,{{79}^ circ }}} approx 6,5)
c)
Ta có: (widehat {BCD} = {180^ circ } – 91,{79^ circ } = 88,{21^ circ }); (CD = AC = 8)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:
(begin{array}{l}B{D^2} = C{D^2} + C{B^2} – 2.CD.CB.cos widehat {BCD}\ Leftrightarrow B{D^2} = {8^2} + {10^2} – 2.8.10.cos 88,{21^ circ } approx 159\ Rightarrow BD approx 12,6end{array})
=================
Giải bài 4 trang 79 SGK Toán 10 CTST
Cho tam giác ABC có (widehat A = {120^ circ },b = 8,c = 5.) Tính:
a) Cạnh a và các góc (widehat B,widehat C.)
b) Diện tích tam giác ABC
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
a) +) Tính a: Áp dụng định lí cosin: ({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.cos A)
+) Tính góc (B,C): Áp dụng định lí sin: (frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}})
b) Áp dụng công thức (S = frac{1}{2}bc.sin A)
c)
+) Áp dụng định lí sin: (R = frac{a}{{sin A}})
+) Đường cao AH: (AH = frac{{2S}}{a})
Lời giải chi tiết
a)
Áp dụng định lí cosin, ta có:
(begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.cos A\ Leftrightarrow {a^2} = {8^2} + {5^2} – 2.8.5.cos {120^ circ } = 129\ Rightarrow a = sqrt {129} end{array})
Áp dụng định lí sin, ta có:
(begin{array}{l}frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} Rightarrow frac{{sqrt {129} }}{{sin {{120}^ circ }}} = frac{8}{{sin B}} = frac{5}{{sin C}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}sin B = frac{{8.sin {{120}^ circ }}}{{sqrt {129} }} approx 0,61\sin C = frac{{5.sin {{120}^ circ }}}{{sqrt {129} }} approx 0,38end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}widehat B approx 37,{59^ circ }\widehat C approx 22,{41^ circ }end{array} right.end{array})
b) Diện tích tam giác ABC là: (S = frac{1}{2}bc.sin A = frac{1}{2}.8.5.sin {120^ circ } = 10sqrt 3 )
c)
+) Theo định lí sin, ta có: (R = frac{a}{{sin A}} = frac{{sqrt {129} }}{{sin {{120}^ circ }}} = 2sqrt {43} )
+) Đường cao AH của tam giác bằng: (AH = frac{{2S}}{a} = frac{{2.10sqrt 3 }}{{sqrt {129} }} = frac{{20sqrt {43} }}{{43}})
==============
Giải bài 5 trang 79 SGK Toán 10 CTST
Cho hình bình hành ABCD
a) Chứng minh (2left( {A{B^2} + B{C^2}} right) = A{C^2} + B{D^2})
b) Cho (AB = 4,BC = 5,BD = 7.) Tính AC.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5
Phương pháp giải
a) Bước 1. Tính góc AC, BD theo AB, BC, cosA dựa vào định lí cosin
Bước 2: Biến đối để suy ra đẳng thức
b) Theo câu a: (A{C^2} = 2left( {A{B^2} + B{C^2}} right) – B{D^2}), từ đó suy ra AC.
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng định lí cosin ta có:
(left{ begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2.AB.BC.cos B\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} – 2.AB.AD.cos Aend{array} right.)
Mà (AD = BC;cos A = cos ({180^ circ } – B) = – cos B)
(begin{array}{l} Rightarrow left{ begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2.AB.BC.cos A\B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2.AB.AD.cos Aend{array} right.\ Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2left( {A{B^2} + B{C^2}} right)end{array})
b) Theo câu a, ta suy ra: (A{C^2} = 2left( {A{B^2} + B{C^2}} right) – B{D^2})
(begin{array}{l} Rightarrow A{C^2} = 2left( {{4^2} + {5^2}} right) – {7^2} = 33\ Rightarrow AC = sqrt {33} end{array})
==============
Giải bài 6 trang 79 SGK Toán 10 CTST
Cho tam giác ABC có (a = 15,b = 20,c = 25.)
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6
Phương pháp giải
a) Áp dụng công thức heron: (S = sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} ) với (p = frac{{a + b + c}}{2})
b) Áp dụng công thức: (S = frac{{abc}}{{4R}} Rightarrow R = frac{{abc}}{{4S}})
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (p = frac{{a + b + c}}{2} = frac{{15 + 20 + 25}}{2} = 30)
Áp dụng công thức heron, ta có: (S = sqrt {30.(30 – 15).(30 – 20).(30 – 25)} = 150)
b) Ta có: (S = frac{{abc}}{{4R}} Rightarrow R = frac{{abc}}{{4S}} = frac{{15.20.25}}{{4.150}} = 12,5.)
==============
Giải bài 7 trang 79 SGK Toán 10 CTST
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
(cot A + cot B + cot C = frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}})
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7
Phương pháp giải
Tính (cot A,cot B,cot C)bằng cách: Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin:
(sin A = frac{a}{{2R}}); (cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}})
Lời giải chi tiết
Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:
(frac{a}{{sin A}} = 2R Rightarrow sin A = frac{a}{{2R}})
và (cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}})
( Rightarrow cot A = frac{{cos A}}{{sin A}} = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}:frac{a}{{2R}} = R.frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{abc}})
Tương tự ta có: (cot B = R.frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{abc}}) và (cot C = R.frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{abc}})
(begin{array}{l} Rightarrow cot A + cot B + cot C = frac{R}{{abc}}left[ {left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} right) + left( {{a^2} + {c^2} – {b^2}} right) + left( {{a^2} + {b^2} – {c^2}} right)} right]\ = frac{R}{{abc}}left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} – {a^2} – {c^2} – {b^2}} right) = frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}end{array})
=============
Giải bài 8 trang 79 SGK Toán 10 CTST
Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370 km, 350 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là (2,{1^ circ }.)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 8
Phương pháp giải
Áp dụng định lí cosin: (A{B^2} = {370^2} + {350^2} – 2.370.350.cos 2,{1^ circ })
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí cosin, ta có:
(begin{array}{l}A{B^2} = {370^2} + {350^2} – 2.370.350.cos 2,{1^ circ }\ Rightarrow AB approx 23,96;(km)end{array})
Vậy khoảng cách giữa hai tòa nhà là 23,96 km.
============
Giải bài 9 trang 79 SGK Toán 10 CTST
Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc (widehat {BPA} = {35^o}) và (widehat {BQA} = {48^o}.) Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 9
Phương pháp giải
Bước 1: Tính AB theo QB, dựa vào tan góc P và Q.
Bước 2: Lập phương trình, tìm QB.
Bước 3: Tính AB: (AB = QB.tan {48^ circ })
Lời giải chi tiết
Xét tam giác APB và AQB, ta có:
(tan {35^ circ } = frac{{AB}}{{PB}} = frac{{AB}}{{300 + QB}}) và (tan {48^ circ } = frac{{AB}}{{QB}})
(begin{array}{l} Rightarrow AB = tan {35^ circ }.left( {300 + QB} right) = tan {48^ circ }.QB\ Leftrightarrow tan {35^ circ }.300 + tan {35^ circ }.QB = tan {48^ circ }.QB\ Leftrightarrow tan {35^ circ }.300 = left( {tan {{48}^ circ } – tan {{35}^ circ }} right).QB\ Leftrightarrow QB = frac{{tan {{35}^ circ }.300}}{{tan {{48}^ circ } – tan {{35}^ circ }}}end{array})
Mà (AB = tan {48^ circ }.QB)
( Rightarrow AB = tan {48^ circ }.frac{{tan {{35}^ circ }.300}}{{tan {{48}^ circ } – tan {{35}^ circ }}} approx 568,5;(m))
Vậy tháp hải đăng cao khoảng 568,5 m.
================
Giải bài 10 trang 79 SGK Toán 10 CTST
Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách (AB = 12m) cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là (h = 1,2m.) Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm ({A_1},{B_1}) cùng thẳng hàng với ({C_1}) thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta do được (widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^ circ },widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^ circ }.) Tính chiều cao CD của tháp.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 10
Phương pháp giải
Bước 1: Tính góc (widehat {{A_1}D{B_1}}) => Áp dụng định lí sin trong tam giác ({A_1}D{B_1}) để tính ({A_1}D)
Bước 2: Tính ({C_1}D) từ đó suy ra chiều cao của tháp.
Lời giải chi tiết
Ta có: (widehat {D{A_1}{C_1}} = widehat {{A_1}D{B_1}} + widehat {D{B_1}{A_1}} Rightarrow widehat {{A_1}D{B_1}} = {49^ circ } – {35^ circ } = {14^ circ })
Áp dụng định lí sin trong tam giác ({A_1}D{B_1}) , ta có:
(begin{array}{l}frac{{{A_1}D}}{{sin {B_1}}} = frac{{{A_1}{B_1}}}{{sin D}} Leftrightarrow frac{{{A_1}D}}{{sin {{35}^ circ }}} = frac{{12}}{{sin {{14}^ circ }}}\ Rightarrow {A_1}D = sin {35^ circ }.frac{{12}}{{sin {{14}^ circ }}} approx 28,45end{array})
Áp dụng định lí sin trong tam giác ({A_1}D{C_1}) , ta có:
(begin{array}{l}frac{{{A_1}D}}{{sin {C_1}}} = frac{{{C_1}D}}{{sin {A_1}}} Leftrightarrow frac{{28,45}}{{sin {{90}^ circ }}} = frac{{{C_1}D}}{{sin {{49}^ circ }}}\ Rightarrow {C_1}D = sin {49^ circ }.frac{{28,45}}{{sin {{90}^ circ }}} approx 21,47end{array})
Do đó, chiều cao CD của tháp là: (21,47 + 1,2 = 22,67;(m))