Giải bài tập Cuối chương 5 (Chân trời)
===========
Giải bài 1 trang 102 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho 3 vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đều khác vectơ (overrightarrow 0 ). Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Nếu hai vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ) cùng phương với (overrightarrow c ) thì (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng phương
b) Nếu hai vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ) cùng ngược hướng với (overrightarrow c ) thì (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng hướng
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
Nhận xét về giá và hướng của hai vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ) với vectơ (overrightarrow c ) để rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết
a)
+) Vectơ (overrightarrow a ) cùng phương với vectơ (overrightarrow c ) nên giá của vectơ (overrightarrow a ) song song với giá của vectơ (overrightarrow c )
+) Vectơ (overrightarrow b ) cùng phương với vectơ (overrightarrow c ) nên giá của vectơ (overrightarrow b ) song song với giá của vectơ (overrightarrow c )
Suy ra giá của vectơ (overrightarrow a ) và vectơ (overrightarrow b ) song song với nhau nên (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng phương
Vậy khẳng định trên đúng
b) Giả sử vectơ (overrightarrow c ) có hướng từ A sang B
+) Vectơ (overrightarrow a ) ngược hướng với vectơ (overrightarrow c ) nên giá của vectơ (overrightarrow a ) song song với giá của vectơ (overrightarrow c ) và có hướng từ B sang A
+) Vectơ (overrightarrow b ) ngược hướng với vectơ (overrightarrow c ) nên giá của vectơ (overrightarrow b ) song song với giá của vectơ (overrightarrow c ) và có hướng từ B sang A
Suy ra, hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng hướng
Vậy khẳng định trên đúng
Giải bài 2 trang 102 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.
a) Tính độ dài các vectơ (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} )
b) Tìm trong hình ảnh vectơ đối nhau và có độ dài bằng (frac{{asqrt {10} }}{2})
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
a) Bước 1: Tính độ dài AC, BD
Bước 2: Tính độ dài vectơ (left| {overrightarrow {AB} } right| = AB)
b) Bước 1: Tìm các đoạn thẳng có độ dài là (frac{{asqrt {10} }}{2})
Bước 2: Từ các đoạn thẳng trên xác định các vecto cùng phương (giá song song hoặc trùng nhau) nhưng ngược hướng.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
(AC = BD = sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = sqrt {{a^2} + {{left( {3a} right)}^2}} = asqrt {10} )
+) (left| {overrightarrow {AC} } right| = AC = asqrt {10} )
+) (left| {overrightarrow {BD} } right| = BD = asqrt {10} )
b) O là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:
(AO = OC = BO = OD = frac{{asqrt {10} }}{2})
Dựa vào hình vẽ ta thấy AO và CO cùng nằm trên một đường thẳng; BO và DO cùng nằm trên một đường thẳng
Suy ra các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng (frac{{asqrt {10} }}{2}) là:
(overrightarrow {OA} ) và (overrightarrow {OC} ); (overrightarrow {AO} ) và (overrightarrow {CO} ); (overrightarrow {OB} ) và (overrightarrow {OD} ); (overrightarrow {BO} ) và (overrightarrow {DO} )
Giải bài 3 trang 102 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng (60^circ ). Tìm độ dài của các vectơ sau: (overrightarrow p = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} ;overrightarrow u = overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} ;overrightarrow v = 2overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} ).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3
Phương pháp giải
Quy tắc ba điểm (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AO} + overrightarrow {OB} )
Quy tắc hình bình hành (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} ) (với ABCD là hình bình hành);
Quy tắc hiệu: (overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} = overrightarrow {CB} )
Áp dụng các quy tắc trên để xác định vecto (overrightarrow p ,overrightarrow u ,overrightarrow v ) rồi tính độ dài.
Lời giải chi tiết
+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
(overrightarrow p = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} )
+) (overrightarrow u = overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} = overrightarrow {DB} )
+) (overrightarrow v = 2overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} = overrightarrow {AB} + left( {overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} } right) = overrightarrow {AB} + overrightarrow {CB} )( = overrightarrow {AB} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {DB} )
Giải bài 4 trang 102 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho (overrightarrow {CE} = overrightarrow {AN} ) (hình 1)
a) Tìm tổng của các vectơ:
(overrightarrow {NC} ) và (overrightarrow {MC} ); (overrightarrow {AM} ) và (overrightarrow {CD} ); (overrightarrow {AD} ) và (overrightarrow {NC} )
b) Tìm các vectơ hiệu:
()(overrightarrow {NC} – overrightarrow {MC} ); (overrightarrow {AC} – overrightarrow {BC} ); (overrightarrow {AB} – overrightarrow {ME} ).
c) Chứng minh (overrightarrow {AM} + overrightarrow {AN} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
a) Chỉ ra các hình bình hành, từ đó suy ra các vectơ bằng nhau và vận dụng quy tắc hình bình hành.
b) Quy tắc hiệu: (overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} = overrightarrow {CB} ), quy tắc ba điểm (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AO} + overrightarrow {OB} ) và thay thế các vectơ bằng nhau (overrightarrow {ME} = overrightarrow {AD} )
c) Thay thế các vectơ bằng nhau (overrightarrow {AN} = overrightarrow {MC} ); sử dụng quy tắc hình bình hành (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} ) (với ABCD là hình bình hành)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (overrightarrow {CE} = overrightarrow {AN} Rightarrow CE//AN) và (CE = AN = ND = BM = MC)
Suy ra (overrightarrow {MC} = overrightarrow {CE} )
+) (overrightarrow {NC} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {NC} + overrightarrow {CE} = overrightarrow {NE} )
+) ABCD là hình bình hành nên (overrightarrow {CD} = overrightarrow {BA} )
(overrightarrow {AM} + overrightarrow {CD} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {BA} = overrightarrow {BM} )
+) Ta có (overrightarrow {MC} = overrightarrow {AN} Rightarrow AMCN) là hình bình hành nên (overrightarrow {NC} = overrightarrow {AM} )
(overrightarrow {AD} + overrightarrow {NC} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {AM} = overrightarrow {AE} ) (vì AMED là hình bình hành)
b) Ta có:
+) (overrightarrow {NC} – overrightarrow {MC} = overrightarrow {NC} + overrightarrow {CM} = overrightarrow {NM} )
+) (overrightarrow {AC} – overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {AB} )
+) (overrightarrow {AB} – overrightarrow {ME} = overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {DB} )
c) Ta có:
(overrightarrow {AM} + overrightarrow {AN} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {AC} )
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có
(overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} )
Từ đó suy ra (overrightarrow {AM} + overrightarrow {AN} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} ) (đpcm)
Giải bài 5 trang 103 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho (overrightarrow a ,overrightarrow b ) là hai vectơ khác vectơ (overrightarrow 0 ). Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?
a) (left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right|);
b) (left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a – overrightarrow b } right|) .
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất ({overrightarrow a ^2} = {left| {overrightarrow a } right|^2})
Lời giải chi tiết
a) (left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right| Leftrightarrow {left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right|^2} = {left( {left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right|} right)^2})
( Leftrightarrow {left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2} = {left( {left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right|} right)^2} Leftrightarrow {left( {overrightarrow a } right)^2} + 2overrightarrow a .overrightarrow b + {left( {overrightarrow b } right)^2} = {left| {overrightarrow a } right|^2} + 2.left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right| + {left| {overrightarrow b } right|^2})
( Leftrightarrow {left| {overrightarrow a } right|^2} + 2overrightarrow a .overrightarrow b + {left| {overrightarrow b } right|^2} = {left| {overrightarrow a } right|^2} + 2.left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right| + {left| {overrightarrow b } right|^2})
( Leftrightarrow 2overrightarrow a .overrightarrow b = 2left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|)
( Leftrightarrow 2left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 2left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|)
( Leftrightarrow cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 1 Leftrightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 0^circ )
Vậy (left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right| Leftrightarrow overrightarrow a , ,overrightarrow b ) cùng hướng.
b) (left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a – overrightarrow b } right| Leftrightarrow {left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right|^2} = {left| {overrightarrow a – overrightarrow b } right|^2})
( Leftrightarrow {left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2} = {left( {overrightarrow a – overrightarrow b } right)^2})
( Leftrightarrow {left( {overrightarrow a } right)^2} + 2overrightarrow a .overrightarrow b + {left( {overrightarrow b } right)^2} = {left( {overrightarrow a } right)^2} – 2overrightarrow a .overrightarrow b + {left( {overrightarrow b } right)^2})
( Leftrightarrow 2overrightarrow a .overrightarrow b = – 2overrightarrow a .overrightarrow b Leftrightarrow 4overrightarrow a .overrightarrow b = 0)
( Leftrightarrow overrightarrow a .overrightarrow b = 0 Leftrightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 90^circ )
Vậy (left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = left| {overrightarrow a – overrightarrow b } right| Leftrightarrow overrightarrow a ,overrightarrow b ) vuông góc với nhau.
Giải bài 6 trang 103 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho (left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = 0). So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6
Phương pháp giải
Cho hai vectơ (overrightarrow a) và (overrightarrow b). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho (overrightarrow {AB} = overrightarrow a ), (overrightarrow {BC} = overrightarrow b ). Khi đó (overrightarrow {AC} ) được gọi là tổng của hai vecto (overrightarrow a), (overrightarrow b) được kí hiệu là (overrightarrow a + overrightarrow b ).
Vậy (overrightarrow a + overrightarrow b = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} )
Lời giải chi tiết
(left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right| = 0 Leftrightarrow overrightarrow a + overrightarrow b = overrightarrow 0 Leftrightarrow overrightarrow a = – overrightarrow b )
(overrightarrow a = – overrightarrow b ) suy ra hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) là hai vecto đối nhau nên chúng cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.
Giải bài 7 trang 103 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng (overrightarrow {AB} = overrightarrow {CD} ) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7
Phương pháp giải
Chứng minh thông qua ABCD là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Với 4 điểm A, B, C, D ta có: (overrightarrow {AB} = overrightarrow {CD} ) khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình bình hành
Theo tính chất của hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường và ngược lại.
Nói cách khác: trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Giải bài 8 trang 103 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng (overrightarrow {RJ} + overrightarrow {IQ} + overrightarrow {PS} = overrightarrow 0 ).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 8
Phương pháp giải
Bước 1: Sử dụng quy tắc ba điểm (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AO} + overrightarrow {OB} )
Bước 2: Xác định các cặp vectơ đối nhau từ các hình bình hành (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {CD} ) là hai vectơ đối nhau với ABCD là hình bình hành
Bước 3: Sử dụng tính chất của vectơ đối (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {CD} ) là hai vectơ đối nhau thì(overrightarrow {AB} + overrightarrow {CD} = overrightarrow 0 )
Lời giải chi tiết
(overrightarrow {RJ} + overrightarrow {IQ} + overrightarrow {PS} = left( {overrightarrow {RA} + overrightarrow {AJ} } right) + left( {overrightarrow {IB} + overrightarrow {BQ} } right) + left( {overrightarrow {PC} + overrightarrow {CS} } right))
( = left( {overrightarrow {RA} + overrightarrow {CS} } right) + left( {overrightarrow {AJ} + overrightarrow {IB} } right) + left( {overrightarrow {BQ} + overrightarrow {PC} } right) = overrightarrow 0 + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = overrightarrow 0 )()(đpcm)
Giải bài 9 trang 103 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía Bắc với tốc độ (45)m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc (20^circ ) về phía tây bắc (hình 2). Tính tốc độ của gió
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 9
Phương pháp giải
Bước 1: Dựa vào hình 2 xác định các vectơ tương ứng với vận tốc của máy bay, vận tốc so với mặt đất
Bước 2: Dựa vào mối liên hệ giữa các vectơ đã cho (overrightarrow v = overrightarrow {{v_1}} + overrightarrow {{v_2}} ) xác định vectơ tương ứng với vận tốc gió
Bước 3: Áp dụng định lý cosin tìm tốc độ của gió
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết ta có:
+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay là vectơ (overrightarrow {{v_1}} )
+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay so với mặt đất là vectơ (overrightarrow v )
+) Vectơ tương ứng với vận tốc gió là vectơ (overrightarrow {{v_2}} )
Ta có : (left| {overrightarrow {{v_1}} } right| = 45;left| {overrightarrow v } right| = 38;left( {overrightarrow {{v_1}} ,overrightarrow v } right) = 20^circ )
Áp dụng định lý cosin ta có:
(left| {overrightarrow {{v_2}} } right| = sqrt {{{left| {overrightarrow v } right|}^2} + {{left| {overrightarrow {{v_1}} } right|}^2} – 2left| {overrightarrow v } right|.left| {overrightarrow {{v_1}} } right|.cos left( {overrightarrow v ,overrightarrow {{v_1}} } right)} )
( = sqrt {{{38}^2} + {{45}^2} – 2.38.45.cos 20^circ } simeq 16) (m/s)
Vậy tốc độ của gió gần bằng 16 m/s
Giải bài 10 trang 103 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng (overrightarrow {MD} + overrightarrow {ME} + overrightarrow {MF} = frac{3}{2}overrightarrow {MO} )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 10
Phương pháp giải
Bước 1: Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, BC
Bước 2: Xác định các tam giác đều, hình bình hành sau đó áp dụng vào biểu thức vectơ, trong tam giác đều thì đường cao vừa là trung tuyến, quy tắc hình bình hành (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} ) (với ABCD là hình bình hành)
Bước 3: Sử dụng quy tắc ba điểm (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AO} + overrightarrow {OB} ), tính chất trọng tâm của tam giác (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 ) (với G là trọng tâm của tam giác ABC)
Lời giải chi tiết
(overrightarrow {MD} + overrightarrow {ME} + overrightarrow {MF} = left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OD} } right) + left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OE} } right) + left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OF} } right))
Qua M kẻ các đường thẳng ({M_1}{M_2}//AB;{M_3}{M_4}//AC;{M_5}{M_6}//BC)
Từ đó ta có: (widehat {M{M_1}{M_6}} = widehat {M{M_6}{M_1}} = widehat {M{M_4}{M_2}} = widehat {M{M_2}{M_4}} = widehat {M{M_3}{M_5}} = widehat {M{M_5}{M_3}} = 60^circ )
Suy ra các tam giác (Delta M{M_3}{M_5},Delta M{M_1}{M_6},Delta M{M_2}{M_4}) đều
Áp dụng tính chất trung tuyến (overrightarrow {AM} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right))(với M là trung điểm của BC) ta có:
(overrightarrow {ME} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_1}} + overrightarrow {M{M_6}} } right);overrightarrow {MD} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_2}} + overrightarrow {M{M_4}} } right);overrightarrow {MF} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_3}} + overrightarrow {M{M_5}} } right))
( Rightarrow overrightarrow {MD} + overrightarrow {ME} + overrightarrow {MF} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_2}} + overrightarrow {M{M_4}} } right) + frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_1}} + overrightarrow {M{M_6}} } right) + frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_3}} + overrightarrow {M{M_5}} } right))
Ta có: các tứ giác (A{M_3}M{M_1};C{M_4}M{M_6};B{M_2}M{M_5}) là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có
(overrightarrow {MD} + overrightarrow {ME} + overrightarrow {MF} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_2}} + overrightarrow {M{M_4}} } right) + frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_1}} + overrightarrow {M{M_6}} } right) + frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_3}} + overrightarrow {M{M_5}} } right))
( = frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_1}} + overrightarrow {M{M_3}} } right) + frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_2}} + overrightarrow {M{M_5}} } right) + frac{1}{2}left( {overrightarrow {M{M_4}} + overrightarrow {M{M_6}} } right))
( = frac{1}{2}overrightarrow {MA} + frac{1}{2}overrightarrow {MB} + frac{1}{2}overrightarrow {MC} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} } right))
( = frac{1}{2}left( {left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} } right) + left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB} } right) + left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OC} } right)} right))
( = frac{1}{2}left( {3overrightarrow {MO} + left( {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} } right)} right) = frac{3}{2}overrightarrow {MO} ) (đpcm)
Vậy (overrightarrow {MD} + overrightarrow {ME} + overrightarrow {MF} = frac{3}{2}overrightarrow {MO} )
Giải bài 11 trang 103 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Một xe goòng được kéo bởi một lực (overrightarrow F ) có độ lớn là là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài là 200 m. Cho biết góc giữa lực (overrightarrow F ) và (overrightarrow {AB} ) là (30^circ ) và (overrightarrow F ) được phân tích thành 2 lực (overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ) (hình 3). Tính công sinh ra bởi các lực (overrightarrow F ,overrightarrow {{F_1}} ) và (overrightarrow {{F_2}} ).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 11
Phương pháp giải
Bước 1: Sử dụng các tính chất trong tam giác vuông xác định độ lớn của các lực
Bước 2: Xác định góc giữa các lực và hướng dịch chuyển
Bước 3: Sử dụng công thức (A = overrightarrow F .overrightarrow d ) (với (overrightarrow d ) là vectơ thể hiện độ dịch chuyển và quãng đường mà vật đi được)
Lời giải chi tiết
Ta xác định được các độ lớn:
(left| {overrightarrow F } right| = 50,left| {overrightarrow {{F_2}} } right| = left| {overrightarrow F } right|cos 30^circ = 50.frac{{sqrt 3 }}{2} = 25sqrt 3 ,left| {overrightarrow {{F_1}} } right| = left| {overrightarrow F } right|.sin 30^circ = 50.frac{1}{2} = 25) (N)
Dựa vào hình vẽ ta có: (left( {overrightarrow F ,overrightarrow d } right) = 30^circ ,left( {overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow d } right) = 90^circ ,left( {overrightarrow {{F_2}} ,overrightarrow d } right) = 0^circ )
Áp dụng công thức tính công sinh ra bởi lực (A = overrightarrow F .overrightarrow d ) ta có:
(A = overrightarrow F .overrightarrow d = left| {overrightarrow F } right|left| {overrightarrow d } right|cos left( {overrightarrow F ,overrightarrow d } right) = 50.200.cos 30^circ = 5000 (J))
({A_1} = overrightarrow {{F_1}} .overrightarrow d = left| {overrightarrow {{F_1}} } right|left| {overrightarrow d } right|cos left( {overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow d } right) = 25.200.cos 90^circ = 0 (J))
({A_2} = overrightarrow {{F_2}} .overrightarrow d = left| {overrightarrow {{F_2}} } right|left| {overrightarrow d } right|cos left( {overrightarrow {{F_2}} ,overrightarrow d } right) = 25sqrt 3 .200.cos 0^circ = 5000sqrt 3 (J))
Giải bài 12 trang 103 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chạy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi (overrightarrow {{v_1}} ,overrightarrow {{v_2}} ,overrightarrow v ) lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.
a) Tính độ dài của các vectơ (overrightarrow {{v_1}} ,overrightarrow {{v_2}} ,overrightarrow v )
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?
c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 12
Phương pháp giải
a) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông ({c^2} = {a^2} + {b^2}) (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)
b) Chỉ ra kết quả độ dài vectơ (overrightarrow v ) đã tính được ở câu a)
c) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông (sin B = frac{a}{c}) (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
(left| {overrightarrow {{v_1}} } right| = 0,75;left| {overrightarrow {{v_2}} } right| = 1,20)
Dựa vào hình vẽ ta thấy (overrightarrow v = overrightarrow {{v_1}} + overrightarrow {{v_2}} ) và (overrightarrow {{v_1}} bot overrightarrow {{v_2}} )
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông ta có: ({left| {overrightarrow v } right|^2} = {left| {overrightarrow {{v_1}} } right|^2} + {left| {overrightarrow {{v_2}} } right|^2} Rightarrow left| {overrightarrow v } right| = sqrt {{{left| {overrightarrow {{v_1}} } right|}^2} + {{left| {overrightarrow {{v_2}} } right|}^2}} = sqrt {0,{{75}^2} + 1,{2^2}} = frac{{3sqrt {89} }}{{20}})
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là (frac{{3sqrt {89} }}{{20}}) m/s
c) Nước có hướng dichuyển song song với bờ nên hướng di chuyển của thuyền
so với bờ tương đương với hướng di chuyển của thuyền so với nước
Suy ra góc lệch giữa hướng di chuyển của thuyền và bờ là (left( {overrightarrow v ,overrightarrow {{v_2}} } right))
Ta có: (sin left( {overrightarrow v ,overrightarrow {{v_2}} } right) = frac{{left| {overrightarrow {{v_1}} } right|}}{{left| {overrightarrow v } right|}} = frac{{0,75}}{{frac{{3sqrt {89} }}{{20}}}} = frac{{5sqrt {89} }}{{89}} Rightarrow left( {overrightarrow v ,overrightarrow {{v_2}} } right) simeq 32^circ )
Vậy hướng di chuyển của thuyền lệch một góc (32^circ ) so với bờ.