[Mức độ 3] Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l}x + y = sqrt {4z – 1} \y + z = sqrt {4x – 1} \z + x = sqrt {4y – 1} end{array} right.).
Lời giải
Đặt (left{ begin{array}{l}x + y = sqrt {4z – 1} ,,,left( 1 right)\y + z = sqrt {4x – 1} ,,,,left( 2 right)\z + x = sqrt {4y – 1} ,,,,,left( 3 right)end{array} right.).
Điều kiện: (x,,y,,z, ge frac{1}{4}).
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có
(sqrt {4z – 1} = sqrt {left( {4z – 1} right).1} le frac{{left( {4z – 1} right) + 1}}{2} = 2z,,,left( {1′} right)).
(sqrt {4x – 1} = sqrt {left( {4x – 1} right).1} le frac{{left( {4x – 1} right) + 1}}{2} = 2x,,,left( {2′} right)).
(sqrt {4y – 1} = sqrt {left( {4y – 1} right).1} le frac{{left( {4y – 1} right) + 1}}{2} = 2y,,,left( {3′} right)).
Từ (left( {1′} right);,left( {2′} right);,left( {3′} right)) và (left( 1 right);,left( 2 right);,left( 3 right)) suy ra
(2left( {x + y + z} right) = sqrt {4z – 1} + sqrt {4x – 1} + sqrt {4y – 1} le 2z + 2x + 2y) (left( 4 right)).
Từ (left( 4 right)) suy ra:
(left{ begin{array}{l}x + y = sqrt {4z – 1} \y + z = sqrt {4x – 1} \z + x = sqrt {4y – 1} end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}4z – 1 = 1\4x – 1 = 1\4y – 1 = 1end{array} right.) ( Leftrightarrow x = y = z = frac{1}{2}).
Vậy hệ có nghiệm (x = y = z = frac{1}{2}).