Giải phương trình (frac{{6 – 10sin left( {x – frac{pi }{3}} right) + cos 2x}}{{sin 2x}} = sqrt 3 ).
Lời giải
Điều kiện: (sin 2x ne 0 Leftrightarrow 2x ne kpi Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2})(left( {k in mathbb{Z}} right)).
Khi đó ta có phương trình tương đương:
(6 + 10sin left( {frac{pi }{3} – x} right) + cos 2x = sqrt 3 sin 2x)( Leftrightarrow 6 + 10cos left( {frac{pi }{6} + x} right) + cos 2x – sqrt 3 sin 2x = 0)
( Leftrightarrow 3 + 5cos left( {x + frac{pi }{6}} right) + frac{1}{2}cos 2x – frac{{sqrt 3 }}{2}sin 2x = 0)( Leftrightarrow 3 + 5cos left( {x + frac{pi }{6}} right) + cos frac{pi }{3}.cos 2x – sin frac{pi }{3}.sin 2x = 0)
( Leftrightarrow 3 + 5cos left( {x + frac{pi }{6}} right) + cos left( {2x + frac{pi }{3}} right) = 0)( Leftrightarrow 3 + 5cos left( {x + frac{pi }{6}} right) + cos left[ {2left( {x + frac{pi }{6}} right)} right] = 0)
( Leftrightarrow 3 + 5cos left( {x + frac{pi }{6}} right) + 2{cos ^2}left( {x + frac{pi }{6}} right) – 1 = 0)( Leftrightarrow 2{cos ^2}left( {x + frac{pi }{6}} right) + 5cos left( {x + frac{pi }{6}} right) + 2 = 0)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}cos left( {x + frac{pi }{6}} right) = – frac{1}{2},,,,\cos left( {x + frac{pi }{6}} right) = – 2,,,,,end{array} right.)
- Với (cos left( {x + frac{pi }{6}} right) = – 2) (loại)
- Với (cos left( {x + frac{pi }{6}} right) = – frac{1}{2})( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x + frac{pi }{6} = frac{{2pi }}{3} + k2pi \x + frac{pi }{6} = – frac{{2pi }}{3} + k2pi end{array} right.,,)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{2} + k2pi \x = – frac{{5pi }}{6} + k2pi end{array} right.,,)(left( {k in mathbb{Z}} right))
Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm (x = – frac{{5pi }}{6} + k2pi ) (left( {k in mathbb{Z}} right)).