Giải SGK Bài 2. Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 – CD – Sách Toán

Đề bài

Cho \(\cos a = \frac{3}{5}\) với \(0 < a < \frac{\pi }{2}\). Tính: \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\cos \left( {a – \frac{\pi }{3}} \right),\,\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Dựa vào cách dùng công thức cộng để tính

Lời giải chi tiết

Ta có:

\({\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1 \Rightarrow \sin a =  \pm \frac{4}{5}\)

Do \(0 < a < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{4}{5}\)

\(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{4}{3}\)

Ta có;

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin a.\cos \frac{\pi }{6} + \cos a.\sin \frac{\pi }{6} = \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\\\cos \left( {a – \frac{\pi }{3}} \right) = \cos a.\cos \frac{\pi }{3} + \sin a.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{5}.\frac{1}{2} + \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\\\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 – \tan a.tan\frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{4}{3} + 1}}{{1 – \frac{4}{3}}} =  – 7\end{array}\)

Đề bài

Tính

\(A = \sin \left( {a – 17^\circ } \right)\cos \left( {a + 13^\circ } \right) – \sin \left( {a + 13^\circ } \right)\cos \left( {a – 17^\circ } \right)\)

\(B = \cos \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} – b} \right) – \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} – b} \right)\)

Dựa vào công thức cộng để biến đổi

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A = \sin \left( {a – 17^\circ } \right)\cos \left( {a + 13^\circ } \right) – \sin \left( {a + 13^\circ } \right)\cos \left( {a – 17^\circ } \right)\\A = \sin \left( {a – 17^\circ  – a – 13^\circ } \right) = \sin \left( { – 30^\circ } \right) =  – \frac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B = \cos \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} – b} \right) – \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} – b} \right)\\B = \cos \left( {b + \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} – b} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\end{array}\)

Đề bài

Cho \(\tan \left( {a + b} \right) = 3,\,\tan \left( {a – b} \right) = 2\).

Tính: \(\tan 2a,\,\,\tan 2b\)

Dựa vào công thức cộng và công thức nhân đôi để tính

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}2a = \left( {a + b} \right) + \left( {a – b} \right) \Rightarrow \tan 2a = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a – b} \right)} \right]\\2b = \left( {a + b} \right) – \left( {a – b} \right) \Rightarrow \tan 2b = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) – \left( {a – b} \right)} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a – b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a – b} \right)}}{{1 – \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a – b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 – 3.2}} =  – 1\\\tan \left[ {\left( {a + b} \right) – \left( {a – b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) – \tan \left( {a – b} \right)}}{{1 + \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a – b} \right)}} = \frac{{3 – 2}}{{1 + 3.2}} = \frac{1}{7}\end{array}\)

Vậy \(\tan 2a =  – 1,\,\,\,\tan 2b = \frac{1}{7}\)

Đề bài

Cho \(\sin a = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính: \(\cos 2a,\,\cos 4a\)

Dựa vào công thức nhân và các tính chất cơ bản của giá trị lượng giác để tính

Lời giải chi tiết

Ta có:

\({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5}\)

\(\cos 2a = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a = \frac{1}{5} – {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} =  – \frac{3}{5}\)

Ta có:

\({\cos ^2}2a + {\sin ^2}2a = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ – 3}}{5}} \right)^2} + {\sin ^2}2a = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}2a = \frac{{16}}{{25}}\)

\(\cos 4a = \cos 2.2a = {\cos ^2}2a – {\sin ^2}2a = {\left( { – \frac{3}{5}} \right)^2} – \frac{{16}}{{25}} =  – \frac{7}{{25}}\)

Đề bài

Cho \(\sin a + \cos a = 1\). Tính: \(\sin 2a\)

Dựa vào cách khai triển bình phương để tính

Lời giải chi tiết

\(\sin a + \cos a = 1 \Rightarrow {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = 1 \)

\(\Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2} + 2\sin a\cos a = 1 \Leftrightarrow 1 + \sin 2a = 1\)

adsense

\(\Leftrightarrow \sin 2a = 0\)

Đề bài

Cho \(\cos 2a = \frac{1}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính \(\sin a,\,\,\cos a,\,\,\tan a\)

Dựa vào công thức nhân đôi và các công thức cơ bản của giá trị lượng giác để tính:

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\cos 2a = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {\cos ^2}a – {\sin ^2}a = \frac{1}{3}\,\,\left( 1 \right)\\{\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}a = \frac{2}{3}\\{\sin ^2}a = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos a =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}\\\sin a =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Do \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos a = \frac{{-\sqrt 6 }}{3}\\\sin a =  \ \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Đề bài

Cho \(\cos 2x = \frac{1}{4}\).

Tính: \(A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right)\); \(B = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)\)

Dựa vào công thức biến tích thành tổng để tính

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{6} + x – \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6} – x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\\A = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \frac{\pi }{3}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{8}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) =  – \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{3} + x – \frac{\pi }{3}} \right) – \cos \left( {x + \frac{\pi }{3} – x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\\B =  – \frac{1}{2}\left( {\cos 2x – \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  – \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \right) =  – \frac{3}{8}\end{array}\)

Đề bài

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)

Dựa vào công thức biến tổng thành tích để tính

Lời giải chi tiết

\(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}} = \frac{{2.\sin 2x.\cos x + \sin 2x}}{{2.\cos 2x.\cos x + \cos 2x}} = \frac{{\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}} = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}\)

Đề bài

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12m. Biết rằng hai sợi cáp trên cũng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15m (Hình 18)

a)     Tính \(\tan \alpha \), ở đó \(\alpha \) là góc giữa hai sợi cáp trên

b)     Tìm góc \(\alpha \) (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị theo đơn vị độ)

Dựa vào công thức cộng để tính

Lời giải chi tiết

a)     Ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \widehat {AOB} = \frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{14}}{{15}}\\\tan \beta  = \frac{{BH}}{{HO}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\end{array}\)

Ta có: \(\tan \alpha  = \tan \left( {\widehat {AOB} – \beta } \right) = \frac{{\tan \widehat {AOB} – \tan \beta }}{{1 + \tan \widehat {AOB.}\tan \beta }} = \frac{{\frac{{14}}{{15}} – \frac{4}{5}}}{{1 + \frac{{14}}{{15}}.\frac{4}{5}}} = \frac{{10}}{{131}}\)

b)     \(\tan \alpha  = \frac{{10}}{{131}} \Rightarrow \alpha  = 4^\circ \)

Đề bài

Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là \(HK = 20m\). Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 19). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là \(CK = 32m,AH = 6m,BH = 24m\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Dựa vào công thức cộng để tính

Lời giải chi tiết

Từ C kẻ CD vuông góc với AB

Ta có: \(AD = CK – AH = 32 – 6 = 26\left( m \right)\)

\(\begin{array}{l}AB = BH – AH = 24 – 6 = 18\left( m \right)\\DB = AD – AB = 26 – 18 = 8\left( m \right)\end{array}\)

\(CD = HK = 20m\)

Ta có: \(\tan DCB = \frac{{DB}}{{CD}} = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}\)

\(\tan DCA = \frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{26}}{{20}} = \frac{{13}}{{10}}\)

\[\begin{array}{l}\tan BCA = \tan \left( {DCA – DCB} \right) = \frac{{\tan DCA – \tan DCB}}{{1 + \tan DCA.\tan DCB}} = \frac{{\frac{{13}}{{10}} – \frac{2}{5}}}{{1 + \frac{{13}}{{10}}.\frac{2}{5}}} = \frac{{45}}{{76}}\\ \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 30,6^\circ \end{array}\]