Giải SGK Toán 11 Bài 17 (Kết nối tri thức): Hàm số liên tục

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 17: Hàm số liên tục
Mở đầu trang 119 Toán 11 Tập 1: Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Lời giải:
Áp dụng định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.
1. Hàm số liên tục tại một điểm
HĐ1 trang 119 Toán 11 Tập 1: Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cho hàm số 
Tìm giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ và so sánh giá trị này với f(1).
Lời giải:
Ta có: f(1) = 2.
$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$.
Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ = f(1).
Luyện tập 1 trang 120 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số  tại điểm x₀ = 0.
Lời giải:
Hàm số f(x) xác định trên ℝ, do đó x₀ = 0 thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2=0^2=0$; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x\right)=0$.
Do đó, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0$, suy ra $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$.
Lại có f(0) = 0 nên $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$. Vậy hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 0.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
HĐ2 trang 120 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số  với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.

Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm $x=\frac{1}{2}$ và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.
Lời giải:
+) Hàm số 
Hàm số f(x) xác định trên [0; 1], do đó $x=\frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }1=1$; $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }\left(2x\right)=2\cdot \frac{1}{2}=1$.
Suy ra $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$, do đó $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }f\left(x\right)=1$
Mà $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}=1$ nên $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$.
Vậy hàm số f(x) liên tục tại $x=\frac{1}{2}$.
+) Hàm số 
Hàm số g(x) liên tục trên [0; 1], do đó $x=\frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }x=\frac{1}{2}$; $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }1=1$
Suy ra $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }g\left(x\right)\ne \underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }g\left(x\right)$.
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số g(x) tại $x=\frac{1}{2}$, do đó hàm số g(x) gián đoạn tại $x=\frac{1}{2}$.
+) Quan sát Hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường liền trên (0; 1), còn đồ thị của hàm số y = g(x) trên (0; 1) là các đoạn rời nhau.
Luyện tập 2 trang 121 Toán 11 Tập 1: Tìm các khoảng trên đó hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x+2}$ liên tục.
Lời giải:
Biểu thức $\frac{x^2+1}{x+2}$ có nghĩa khi x + 2 ≠ 0 hay x ≠ – 2.
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2) và (– 2; +∞).
3. Một số tính chất cơ bản
HĐ3 trang 121 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) = x² và g(x) = – x + 1.
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1.
b) Tính  và so sánh L với f(1) + g(1).
Lời giải:
a) Hàm số f(x) = x² và g(x) = – x + 1 là các hàm đa thức nên nó liên tục trên ℝ.
Do đó, hai hàm số f(x) và g(x) đều liên tục tại x = 1.
b) Ta có: f(x) + g(x) = x² + (– x + 1) = x² – x + 1.
Do đó, $=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=1^2-1+1=1$.
Lại có, f(1) = 1² = 1; g(1) = – 1 + 1 = 0, do đó f(1) + g(1) = 1 + 0 = 1.
Vậy L = f(1) + g(1) = 1.
Bài tập
Bài 5.14 trang 122 Toán 11 Tập 1: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 2 và . Tính g(1).
Lời giải:
Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.
Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.
Suy ra 
Vì  và f(1) = 2 nên ta có 3 = 2 . 2 – g(1) ⇔ g(1) = 1.
Vậy g(1) = 1.
Bài 5.15 trang 122 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+5x+6}$;
b) 
Lời giải:
a) $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+5x+6}$
Biểu thức $\frac{x}{x^2+5x+6}$ có nghĩa khi x² + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).
b) 
Tập xác định của hàm số là ℝ.
+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x².
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).
+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (1; +∞).
+) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(4-x\right)=4-1=3$;
$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(1+x^2\right)=1+1^2=2$.
Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$, do đó không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 1.
Khi đó, hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.
Bài 5.16 trang 122 Toán 11 Tập 1 :Tìm giá trị của tham số m để hàm sốliên tục trên ℝ.

Lời giải:
Tập xác định của hàm số là ℝ.
+) Nếu x > 0, thì f(x) = sin x. Do đó nó liên tục trên (0; +∞).
+) Nếu x < 0, thì f(x) = – x + m, đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; 0).
Khi đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 0) và (0; +∞).
Do đó, để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$$\iff \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$ (1).
Lại có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sin x=0$; f(0) = sin 0 = 0; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x+m\right)=m$ .
Khi đó, (1) ⇔ m = 0.
Vậy m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 5.17 trang 122 Toán 11 Tập 1: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
Lời giải:
a) Gọi x (km, x > 0) là quãng đường khách di chuyển và y (đồng) là số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển x.
Với x ≤ 0,5, ta có y = 10 000.
Với 0,5 < x ≤ 30, ta có: y = 10 000 + 13 500(x – 0,5) hay y = 13 500x + 3 250.
Với x > 30, ta có: y = 10 000 + 13 500 . 29,5 + 11 000(x – 30) hay y = 11 000x + 78 250.
Vậy công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là

b) +) Với 0 < x < 0,5 thì y = 10 000 là hàm hằng nên nó liên tục trên (0; 0,5).
+) Với 0,5 < x < 30 thì y = 13500x + 3 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,5; 30).
+) Với x > 30 thì y = 11 000x + 78 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (30; +∞).
+) Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 0,5 và x = 30.
– Tại x = 0,5, ta có y(0,5) = 10 000;
$\underset{x\to 0,5^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0,5^{-}}{\lim }10000=10000$;
$\underset{x\to 0,5^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0,5^{+}}{\lim }\left(13500x+3250\right)$= 13 500 . 0,5 + 3 250 = 10 000.
Do đó, $\underset{x\to 0,5^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0,5^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0,5}{\lim }y=y\left(0,5\right)$ nên hàm số liên tục tại x = 0,5.
– Tại x = 30, ta có: y(30) = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;
$\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }\left(13500x+3250\right)$ = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;
$\underset{x\to {30}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {30}^{+}}{\lim }\left(11000x+78250\right)$ = 11 000 . 30 + 78 250 = 408 250.
Do đó, $\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {30}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 30}{\lim }y=y\left(30\right)$ nên hàm số liên tục tại x = 30.
Vậy hàm số ở câu a liên tục trên (0; +∞).
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 16: Giới hạn của hàm số
Bài 17: Hàm số liên tục
Bài tập cuối Chương 5
Một vài áp dụng của toán học trong tài chính
Lực căng mặt ngoài của nước

==== ~~~~~~ ====