Giải SGK Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi


Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 6: Hình thoi
Khởi động trang 113 Toán 8 Tập 1: Hoạ tiết trên vải ở Hình 55 gợi lên hình ảnh của hình thoi.
Khởi động trang 113 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Hình thoi có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thoi?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi trên như sau:
‒ Trong một hình thoi:
+ Bốn cạnh bằng nhau;
+ Các cạnh đối song song.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.
‒ Dấu hiệu nhận biết hình thoi:
+ Hình bình hành có hai cạnh kề nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
I. Định nghĩa
Hoạt động 1 trang 113 Toán 8 Tập 1: So sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 56.
Hoạt động 1 trang 113 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Lời giải:
Xét tứ giác ABCD ở Hình 56 ta có: AB = BC = CD = DA.
II. Tính chất
Hoạt động 2 trang 113, 114 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (Hình 58).
Hoạt động 2 trang 113, 114 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành hay không?
b) Hai đường chéo AC và BD có vuông góc với nhau hay không?
c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng nhau hay không? Tia AC có phải là tia phân giác của BAD^ hay không?
Lời giải:
a) Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.
Xét tứ giác ABCD có: AB = CD, AD = BC nên ABCD là hình bình hành.
b) Do ABCD là hình bình hành nên OB = OD.
Xét ΔOAD và ΔOAB có:
OA là cạnh chung;
AD = AB (chứng minh trên);
OD = OB (chứng minh trên).
Do đó ΔOAD = ΔOAB (c.c.c)
Suy ra AOD^=AOB^ (hai góc tương ứng)
Mà AOD^+AOB^=180°. (hai góc kề bù)
Do đó AOD^=AOB^=180°2=90° hay AC ⊥ BD tại O.
c) Xét ΔABC và ΔADC có:
AC là cạnh chung;
AB = AD (chứng minh câu a);
BC = DC (chứng minh câu a)
Do đó ΔABC = ΔADC (c.c.c)
Suy ra BAC^=DAC^ (hai góc tương ứng)
Nên AC là tia phân giác của BAD^.
Luyện tập 1 trang 114 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có ABC^=120°. Chứng minh tam giác ABD là tam giác đều.
Lời giải:
Luyện tập 1 trang 114 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Do ABCD là hình thoi nên AB = AD
Tam giác ABD có AB = AD nên là tam giác cân tại A.
Do ABCD là hình thoi nên BD là tia phân giác của góc ABC.
Suy ra ABD^=12ABC^=12.120°=60°.
Xét ΔABD cân có ABD^=60° nên là tam giác đều.
III. Dấu hiệu nhận biết
Hoạt động 3 trang 114 Toán 8 Tập 1: a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình thoi hay không?
b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (Hình 60).
Hoạt động 3 trang 114 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
• Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?
• ABCD có phải là hình thoi hay không?
Lời giải:
a) Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC.
Mà AB = BC nên AB = BC = CD = DA.
Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
b) • Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Do đó AC ⊥ BD tại trung điểm O của đoạn thẳng BD.
Suy ra AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
• Vì AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD nên AD = AB.
Theo kết quả câu a, hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AD và AB bằng nhau nên là hình thoi.
Luyện tập 2 trang 115 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh tứ giác ABNC là hình thoi.
Lời giải:
Luyện tập 2 trang 115 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Do MN = MA nên M là trung điểm của AN.
Xét tứ giác ABNC có hai đường chéo AN và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường
Do đó ABNC là hình bình hành.
Mặt khác, ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao
Do đó AM ⊥ BC hay AN ⊥ BC.
Suy ra hình bình hành ABNC có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.
Bài tập
Bài 1 trang 115 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của góc DAB. Chứng minh ABCD là hình thoi .
Lời giải:
Bài 1 trang 115 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Do AC là tia phân giác của góc DAB nên BAC^=DAC^.
Mặt khác do ABCD là hình bình hành nên AB // CD
Suy ra BAC^=DCA^ (so le trong).
Do đó DAC^=DCA^ 
Xét ΔDAC có DAC^=DCA^ nên ΔDAC cân tại D .
Suy ra DA = DC.
Hình bình hành ABCD có hai cạnh kề DA và DC bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 2 trang 115 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh:
AC2 + BD2 = 4(OA2 + OB2) = 4AB2.
Lời giải:
Bài 2 trang 115 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Do đó AC = 2OA, BD = 2OB.
Ta có: AC2 + BD2 = (2OA)2 + (2OB)2 = 4OA2 + 4OB2 = 4(OA2 + OB2).
Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:
AB2 = OA2 + OB2
Suy ra AC2 + BD2 = 4(OA2 + OB2) = 4AB2.
Bài 3 trang 115 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có CDB^=40°. Tính số đo mỗi góc của hình thoi ABCD.
Lời giải:
Bài 3 trang 115 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Vì ABCD là hình thoi nên BD là phân giác của ADC^ 
Do đó ADC^=2CDB^=2.40°=80°.
Suy ra ABC^=ADC^=80°.
Do ABCD là hình thoi nên AB // CD, do đó BAD^+ADC^=180°
Suy ra BAD^=180°ADC^=180°80°=100°.
Do đó BCD^=BAD^=100°.
Vậy ABC^=ADC^=80° và BCD^=BAD^=100°.
Bài 4 trang 115 Toán 8 Tập 1: Hình 62 mô tả một lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là bao nhiêu milimét (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Bài 4 trang 115 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Lời giải:
Bài 4 trang 115 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Giả sử một lưới mắt cáo được mô tả bởi hình thoi ABCD như hình vẽ trên.
Khi đó AC = 90 mm, BD = 45 mm.
Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Suy ra OA=12AC=45mmOB=12BD=22,5mm.
Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:
AB2 = OA2 + OB2 = 452 + 22,52 = 2 025 + 506,25 = 2531,25
Suy ra AB=2531,2550mm.
Bài 5 trang 115 Toán 8 Tập 1: Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60° (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Bài 5 trang 115 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Lời giải:
Bài 5 trang 115 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8
Giả sử viên gạch trang trí được mô tả bởi hình thoi ABCD như hình vẽ trên với BCD^=60°
• Tam giác BCD có BC = CD (do ABCD là hình thoi) nên là tam giác cân tại C.
Lại có BCD^=60° nên ΔBCD là tam giác đều.
Do đó BC = CD = BD = 40 cm.
• Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Suy ra OB=12BD=20cm.
Xét ΔOBC vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:
BC2 = OB2 + OC2
Do đó OC2 = BC2 – OB2 = 402 – 202 = 1 600 – 400 = 1 200.
Suy ra OC=1  20034,64  cm
Mà O là trung điểm của AC nên AC = 2OC ≈ 69,28 (cm).
• Diện tích của viên gạch có dạng hình thoi đó là
SABCD=12AC.BD12.69,28.80=2  771,2  cm2.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 4: Hình bình hành

==== ~~~~~~ ====



Link Hoc va de thi 2021

Chuyển đến thanh công cụ