Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=x−4−x2. Khi đó M+m bằng

Câu hỏi:

Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông ( $a>x>0)$. Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất

A. $x=\frac{a}{\pi +4}\left(cm\right)$

B. $x=\frac{2a}{\pi +4}\left(cm\right)$

C. $x=\frac{\pi a}{\pi +4}\left(cm\right)$

Đáp án chính xác

D. $x=\frac{4a}{\pi +4}\left(cm\right)$

Trả lời:

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 < x < a). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là  $a-x$Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn:  $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$Do đó diện tích hình tròn là:  $S_1=\pi .r^2=\frac{x^2}{4\pi }$Chu vi hình vuông là $a-x\Rightarrow$ cạnh hình vuông là:  $\frac{a-x}{4}$Do đó diện tích hình vuông : $S_2={\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2$ Tổng diện tích hai hình:$S=\frac{x^2}{4\pi }+{\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2=\frac{4x^2+\pi {\left(a-x\right)}^2}{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$Xét hàm số $S\left(x\right)=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$ ta có  $S‘\left(x\right)=\frac{2\left(4+\pi \right).x-2a\pi }{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x-a\pi }{8\pi }$Cho $S‘\left(x\right)=0\iff \left(4+\pi \right)x-a\pi =0\iff x=\frac{a\pi }{4+\pi }$. Ta có BBT như sau:Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là một cực tiểu tại  $x=\frac{a\pi }{4+\pi }$Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{a\pi }{4+\pi }$Đáp án cần chọn là: C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====