Gọi (M,m) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = frac{{2sin x + 3}}{{sin x + 1}}) trên đoạn (left[ {0,;,frac{pi }{2}} right]). Khi đó ({M^2} + {m^2}) là
Câu hỏi:
Gọi (M,m) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = frac{{2sin x + 3}}{{sin x + 1}}) trên đoạn (left[ {0,;,frac{pi }{2}} right]). Khi đó ({M^2} + {m^2}) là
A. (frac{{11}}{2}).
B. (frac{{31}}{2}).
C. (15).
D. (frac{{61}}{4}).
Lời giải
Chọn D
Đặt (t = sin x). Với (x in left[ {0,;,frac{pi }{2}} right]) thì (0 le sin x le 1) hay (0 le t le 1).
Khi đó (y = f(t) = frac{{2t + 3}}{{t + 1}}), với (t in left[ {0,;,1} right]).
Ta có (f'(t) = frac{{ – 1}}{{{{(t + 1)}^2}}} < 0), (forall t in left[ {0,;,1} right]) nên hàm số (f(t)) nghịch biến trên đoạn (left[ {0,;,1} right]).
Suy ra (m = mathop {min }limits_{t, in ,left[ {0,;,1} right]} fleft( t right) = fleft( 1 right) = frac{5}{2})và (M = mathop {max }limits_{t, in ,left[ {0,;,1} right]} fleft( t right) = fleft( 0 right) = 3).
Vậy ({M^2} + {m^2} = frac{{61}}{4}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số