(begin{array}{l},,,,,,{left( {x – 1} right)^3} = 3{x^2} + 3sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\ Leftrightarrow {left( {x – 1} right)^3} = 3{x^2} + 3x + m + 3sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} – 3x + 3\ Leftrightarrow {left( {x – 1} right)^3} + 3left( {x – 1} right) = 3{x^2} + 3x + m + 3sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}},,left( * right)end{array})
Xét hàm số (fleft( t right) = {t^3} + 3t) ta có (f’left( t right) = 3{t^2} + 3 > 0,,forall t in mathbb{R}), do đó hàm số (y = fleft( t right)) đồng biến trên (mathbb{R}).
Mà theo (*) ta có (fleft( {x – 1} right) = fleft( {sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}}} right) Leftrightarrow {left( {x – 1} right)^3} = 3{x^2} + 3x + m Leftrightarrow {x^3} – 6{x^2} – m – 1 = 0).
Xét hàm số (gleft( x right) = {x^3} – 6{x^2} – m – 1) ta có : (g’left( x right) = 3{x^2} – 12x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow gleft( 0 right) = – m – 1\x = 4 Rightarrow gleft( 4 right) = – 33 – mend{array} right.)
Để phương trình (gleft( x right) = 0) có đúng 2 nghiệm thực thì hàm số (y = gleft( x right)) có 2 cực trị thỏa mãn ({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0 Leftrightarrow left( { – m – 1} right)left( { – 33 – m} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = – 1\m = – 33end{array} right.).
( Rightarrow S = left{ { – 1; – 33} right}). Vậy tổng các phần tử của S là ( – 1 – 33 = – 34).
Chọn D.