adsense
Học Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – CD
===============
Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – SGK Toán 11 Cánh Diều
I. Góc lượng giác
1. Góc hình học và số đo của chúng
*Nhận xét:
– Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).
– Ta có: \({180^o} = \pi \)rad, do đó 1 rad \( = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}\), \({1^o} = \left( {\frac{\pi }{{180}}} \right)\)rad.
– Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.
VD: \(\frac{\pi }{2}\)rad cũng được viết là \(\frac{\pi }{2}\).
2. Góc lượng giác và số đo của chúng
a, Khái niệm
– Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.
Kí hiệu: (Ou, Ov).
– Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.
b, Tính chất
– Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau \(\left( {Ou \equiv O’u’} \right)\), tia cuối trùng nhau \(\left( {Ov \equiv O’v’} \right)\).
Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:
\(\left( {Ou,Ov} \right) = \left( {O’u’,O’v’} \right) + k{360^o},k \in \mathbb{Z}.\)
Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:
\(\left( {Ou,Ov} \right) = \left( {O’u’,O’v’} \right) + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
* Hệ thức Chasles
Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:
(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) \( + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
1. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.
2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
– Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
– Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:
\(x = \)cos\(\alpha \), \(y = \)sin\(\alpha \).
tan\(\alpha \)\( = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{y}{x}\left( {x \ne 0} \right)\)
\(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{x}{y}\left( {y \ne 0} \right)\)
* Dấu của các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \)
* Các công thức lượng giác cơ bản
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\\1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\left( {\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
-
- Hai góc đối nhau \(\alpha \) và \( – \alpha \)
\(\begin{array}{l}\sin \left( { – \alpha } \right) = – \sin \alpha \\\cos \left( { – \alpha } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( { – \alpha } \right) = – \tan \alpha \\\cot \left( { – \alpha } \right) = – \cot \alpha \end{array}\)
-
- Hai góc bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi \)-\(\alpha \))
\(\begin{array}{l}\sin \left( {\pi – \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\pi – \alpha } \right) = – \cos \alpha \\\tan \left( {\pi – \alpha } \right) = – \tan \alpha \\\cot \left( {\pi – \alpha } \right) = – \cot \alpha \end{array}\)
-
- Hai góc phụ nhau (\(\alpha \) và \(\frac{\pi }{2}\)-\(\alpha \))
\(\begin{array}{l}\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = c{\rm{os}}\alpha \\\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cot \alpha \\\cot \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \tan \alpha \end{array}\)
-
- Hai góc hơn kém \(\pi \)(\(\alpha \) và \(\pi \) + \(\alpha \))
\(\begin{array}{l}\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = – \sin \alpha \\\cos \left( {\pi + \alpha } \right) = – \cos \alpha \\\tan \left( {\pi + \alpha } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\pi + \alpha } \right) = \cot \alpha \end{array}\)
4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị của một góc lượng giác
Đơn vị độ:
Đơn vị radian:
Giải mục 1 trang 5 , 6, 7 ,8 , 9 SGK Toán 11 tập 1 – Cánh Diều
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 1
Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.
Lời giải chi tiết:
Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc là độ hoặc radian.
Số đo của mỗi góc không vượt quá \({180^ \circ }\)
Luyện tập – Vận dụng 1
Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau.
Phương pháp giải:
\(1\,rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\); \({1^0} = \left( {\frac{\pi }{{180}}} \right)\,rad\)
Lời giải chi tiết:
Ta có bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau:
|
Độ
|
\({18^ \circ }\)
|
\(\frac{{2\pi }}{9}.\frac{{180}}{\pi } = {40^ \circ }\)
|
\({72^ \circ }\)
|
\(\frac{{5\pi }}{6}.\frac{{180}}{\pi } = {150^ \circ }\)
|
|
Radian
|
\(18.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10}}\)
|
\(\frac{{2\pi }}{9}\)
|
\(72.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{2\pi }}{5}\)
|
\(\frac{{5\pi }}{6}\)
|
Hoạt động 2
So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:
a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.
b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.
Lời giải chi tiết:
a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a là chiều quay ngược chiều kim đồng hồ
b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b là chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.
Luyện tập – Vận dụng 2
Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác trong Hình 4b.
Lời giải chi tiết:
Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz,Ot) với tia đầu là tia Oz và tia cuối là tia Ot
Hoạt động 3
a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?
b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là \(3\frac{1}{4}\)vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?
c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?
Phương pháp giải:
Một vòng ứng với \({360^ \circ }\)
Lời giải chi tiết:
a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc \({360^ \circ }\)
b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là \(3\frac{1}{4}\)vòng). Tia đó quét nên một góc \({3.360^ \circ } + \frac{1}{4}{360^ \circ } = {1170^ \circ }\)
c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc -\({360^ \circ }\)
Luyện tập – Vận dụng 3
Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo \( – \frac{{5\pi }}{4}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \( – \frac{{5\pi }}{4} = – \pi + \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)\). Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo \( – \frac{{5\pi }}{4}\) được biểu diễn ở hình sau:
Hoạt động 4
Trong Hình 7, hai góc lượng giác (Ou, Ov), \((O’u’,O’v’)\)có tia đầu trùng nhau \(Ou \equiv O’u’\), tia cuối trùng nhau \(Ov \equiv O’v’\). Nêu dự đoán về mối liên hệ giữa số đo của hai góc lượng giác trên.
Lời giải chi tiết:
Quan sát Hình 7 ta thấy:
• Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tia cuối Ov;
• Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia \(O’u’ \equiv Ou\) đến trùng với tia \(O’v’ \equiv Ov\)rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tỉa cuối \(O’v’ \equiv Ov\).
Như vậy, sự khác biệt giữa hai góc lượng giác (Ou, Ov) và (O’u’, O’v’) chính là số vòng quay quanh điểm O. Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của hai góc lượng giác đó chính là bội nguyên của \({360^ \circ }\) khi hai góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của \(2\pi \) rad khi hai góc đó tính theo đơn vị radian).
Luyện tập – Vận dụng 4
Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo \( – \frac{{4\pi }}{3}\). Cho góc lượng giác \((O’u’,O’v’)\) có tia đầu \(O’u’ \equiv Ou\), tia cuối \(O’v’ \equiv Ov\). Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác \((O’u’,O’v’)\)
Phương pháp giải:
Cho hai góc lượng giác (Ou, Ov), \((O’u’,O’v’)\)có tia đầu trùng nhau \(Ou \equiv O’u’\), tia cuối trùng nhau \(Ov \equiv O’v’\). Khi đó \((Ou,Ov) = (O’u’,O’v’) + k2\pi ,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\((O’u’,O’v’) = (Ou,Ov) + k2\pi \,\, = \, – \frac{{4\pi }}{3}\, + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Hoạt động 5
Cho góc ( hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz ( Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo góc xOz và tổng số đo của hau góc xOy và yOz.
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(\widehat {xOz} = \widehat {xOy} + \widehat {yOz}\)
Luyện tập – Vận dụng 5
Cho góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là \( – \frac{{11\pi }}{4}\), góc lượng giác (Ou,Ow) có số đó là \(\frac{{3\pi }}{4}\). Tìm số đo của góc lượng giác (Ov,Ow).
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Chasles:
Với ba tia tùy ý Ou,Ov,Ow ta có:
\((Ou,Ov) + (Ov,Ow) = (Ou,Ow) + k2\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\).
Lời giải chi tiết:
adsense
Theo hệ thức Chasles, ta có:
\(\begin{array}{l}(Ov,Ow) = (Ou,Ov) – (Ou,Ow) + k2\pi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, – \frac{{11\pi }}{4} – \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi = – \frac{7}{2} + k2\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\end{array}\)
Giải mục 2 trang 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 SGK Toán 11 tập 1 – Cánh Diều
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 6
a) Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1
b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình
Lời giải chi tiết:
a) b)
Luyện tập – Vận dụng 6
Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,ON} \right) = – \frac{\pi }{3}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ
Lời giải chi tiết:
Hoạt động 7
a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = 60^\circ \)
b) So sánh hoành độ của điểm M với \(\cos 60^\circ \); tung độ của điểm M với \(\sin 60^\circ \)
Phương pháp giải:
Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định
Lời giải chi tiết:
a) 
b) \(\cos 60^\circ \) bằng hoành độ của điểm M
\(\sin 60^\circ \) bằng tung độ của điểm M
Luyện tập – Vận dụng 7
Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác \(\beta = – \frac{\pi }{4}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức đã học để tính
Lời giải chi tiết:
\(\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2};\,\,\cot \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – 2\)
Hoạt động 8
Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha = – 30^\circ \)
Phương pháp giải:
Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\cos \left( { – 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\\\sin \left( { – 30^\circ } \right) = – \frac{1}{2} < 0\\\tan \left( { – 30^\circ } \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} < 0\\\cot \left( { – 30^\circ } \right) = – \sqrt 3 < 0\end{array}\)
Luyện tập – Vận dụng 8
Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha = \frac{{5\pi }}{6}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào bảng xét dấu sau:
Lời giải chi tiết:
Do \(\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) > 0\\\tan \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\cot \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\end{array}\)
Hoạt động 9
Cho góc lượng giác \(\alpha \). So sánh
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\) và 1
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha \,\,\) và 1 với \(\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0\)
c) \(1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\) và \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha \ne 0\)
d) \(1 + {\cot ^2}\alpha \,\) và \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh
Lời giải chi tiết:
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\)
c) \(\frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
d) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \)
Luyện tập – Vận dụng 9
Cho góc lượng giác \(\alpha \)sao cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) và \(\sin \alpha = – \frac{4}{5}\). Tìm \(\cos \alpha \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)
Lời giải chi tiết:
Vì \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\) nên \({\cos ^2}\alpha = 1 – {\sin ^2}\alpha = 1 – {\left( { – \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\)
Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\cos \alpha = – \frac{3}{5}\)
Hoạt động 10
Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha = 45^\circ \)
Phương pháp giải:
Dựa vào các kiến thức đã học để tính
Lời giải chi tiết:
\(\sin \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( {45^\circ } \right) = \frac{1}{2};\,\,\cot \left( {45^\circ } \right) = 2\)
Luyện tập – Vận dụng 10
Tính giá trị của biểu thức:
\(Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\)
Phương pháp giải:
Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\\\,\,\,\,\, = \,{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = \frac{7}{2}\end{array}\)
Hoạt động 11
Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha ,\,\,\left( {OA,OM’} \right) = – \alpha \) (Hình 13)
a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.
b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha \,\,v\`a \,\, – \alpha \)
Phương pháp giải:
Dựa vào hình vẽ ( hình 13)
Lời giải chi tiết:
a) Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau
Tung độ của điểm M và M’ đối nhau
b) Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha \,\,v\`a \,\, – \alpha \)
Luyện tập – Vận dụng 11
a) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8}\)
b) \(\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trong bảng:
Lời giải chi tiết:
a) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} – \frac{\pi }{8}} \right) = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = 1\)
b)
\(\begin{array}{l}\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\tan {89^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\tan {88^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\cot {1^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\cot {2^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = 1\end{array}\)
Luyện tập – Vận dụng 12
Dùng máy tính cầm tay để tính ;
a) \(\tan ( – {75^ \circ });\)b) \(\cot \left( { – \frac{\pi }{5}} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng máy tính cầm tay
Lời giải chi tiết:
a) \(\tan ( – {75^ \circ }) = – 2 – \sqrt 3 \)
b) \(\cot \left( { – \frac{\pi }{5}} \right) \approx – 1,376\)