I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (left( alpha right)), ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
– (d//left( alpha right)) nếu (d) và (left( alpha right)) không có điểm chung.
– (d subset left( alpha right)) nếu mọi điểm nằm trong (d) đều nằm trong (left( alpha right)).
– (d) cắt (left( alpha right)) nếu (d) và (left( alpha right)) có duy nhất một điểm chung.
II. Các định lý và tính chất
Định lý 1: Nếu đường thẳng (d) không nằm trong mặt phẳng (left( alpha right)) mà (d) song song với một đường thẳng (d’) nằm trong (left( alpha right)) thì (d) song song với (left( alpha right)).
Vậy (left{ begin{array}{l}d notsubset left( alpha right)\d//d’\d’ subset left( alpha right)end{array} right. Rightarrow d//left( alpha right))
Định lý 2: Cho đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (left( alpha right)), nếu mặt phẳng (left( beta right)) chứa (d) mà cắt (left( alpha right)) theo giao tuyến (d’) thì (d//d’).
Vậy (left{ begin{array}{l}d//left( alpha right)\left( beta right) cap left( alpha right) = d’\d subset left( beta right)end{array} right. Rightarrow d//d’)
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Vậy (left{ begin{array}{l}d//left( alpha right)\d//left( beta right)\left( alpha right) cap left( beta right) = d’end{array} right. Rightarrow d//d’).
Định lý 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
III. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp:
Cách 1: Tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng mà song song với đường thẳng đã cho.
Cách 2: Chứng minh đường thẳng đó là giao của hai mặt phẳng mà lần lượt cắt mặt phẳng đã cho theo hai giao tuyến song song.
Ví dụ: Cho hình chóp (S.ABC) có ({G_1},{G_2}) lần lượt là trọng tâm các tam giác (SBC,ABC). Chứng minh ({G_1}{G_2}//left( {SAC} right))
Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (SC,AC).
Khi đó (dfrac{{B{G_1}}}{{BM}} = dfrac{{B{G_2}}}{{BN}} = dfrac{2}{3} Leftrightarrow {G_1}{G_2}//MN)
Mà (M in SC,N in AC) nên (MN subset left( {SAC} right))
Vậy ({G_1}{G_2}//left( {SAC} right))