I. Tính đơn điệu của hàm số logarit
– Tính đơn điệu của các hàm số (y = {log _a}x)
+ Với (0 < a < 1) thì hàm số (y = {log _a}x) nghịch biến.
+ Với (a > 1) thì hàm số (y = {log _a}x) đồng biến.
II. Giải bất phương trình logarit
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
– Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.
– Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.
Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của cơ số (a).
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình ({log _2}x ge {log _2}left( {2x – 1} right)) là:
A. (left( { – infty ;1} right])
B. (left( {dfrac{1}{2};1} right])
C. (left( {0;1} right))
D. (left[ {dfrac{1}{2};1} right))
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số (a > 1): ({log _a}fleft( x right) ge {log _a}gleft( x right) Leftrightarrow fleft( x right) ge gleft( x right)) .
Cách giải:
Điều kiện xác định: (left{ begin{array}{l}x > 0\2x – 1 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x > dfrac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow x > dfrac{1}{2}).
Khi đó, ({log _2}x ge {log _2}left( {2x – 1} right) Leftrightarrow x ge 2x – 1 Leftrightarrow – x ge – 1 Leftrightarrow x le 1).
Kết hợp với điều kiện xác định ta được (dfrac{1}{2} < x le 1).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (left( {dfrac{1}{2};1} right]).
Chọn B.
Chú ý khi giải:
Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: ({log _{dfrac{1}{4}}}x + {log _{dfrac{1}{2}}}x – 3 le 0) là:
A. (left( { – infty ;dfrac{1}{4}} right])
B. (left( {0; + infty } right))
C. (left[ {dfrac{1}{4}; + infty } right))
D. (left( { – infty ; – 1} right])
Phương pháp:
Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.
Cách giải:
Điều kiện: (x > 0)
(begin{array}{l}{log _{dfrac{1}{4}}}x + {log _{dfrac{1}{2}}}x – 3 le 0 Leftrightarrow {log _{{{left( {dfrac{1}{2}} right)}^2}}}x + {log _{dfrac{1}{2}}}x – 3 le 0\ Leftrightarrow dfrac{1}{2}{log _{dfrac{1}{2}}}x + {log _{dfrac{1}{2}}}x – 3 le 0 Leftrightarrow dfrac{3}{2}{log _{dfrac{1}{2}}}x le 3 Leftrightarrow {log _{dfrac{1}{2}}}x le 2 Leftrightarrow x ge dfrac{1}{4}end{array})
Kết hợp điều kiện (x > 0) ta được (x ge dfrac{1}{4}).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (left[ {dfrac{1}{4}; + infty } right)).
Chọn C.
III. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
– Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo (m) nghiệm của bất phương trình.
– Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.
Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của (m) để bất phương trình (1 + {log _5}left( {{x^2} + 1} right) ge {log _5}left( {m{x^2} + 4x + m} right)) nghiệm đúng với mọi (x in R).
A. (m = 4)
B. (m = 2)
C. (m = 5)
D. (m = 3)
Phương pháp:
– Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.
– Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số (5), nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).
– Giải điều kiện trên suy ra (m).
Cách giải:
Điều kiện: (m{x^2} + 4x + m > 0,forall x Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m > 0\Delta ‘ = 4 – {m^2} < 0end{array} right. Leftrightarrow m > 2)
Ta có:
(begin{array}{l}1 + {log _5}left( {{x^2} + 1} right) ge {log _5}left( {m{x^2} + 4x + m} right) Leftrightarrow {log _5}5 + {log _5}left( {{x^2} + 1} right) ge {log _5}left( {m{x^2} + 4x + m} right)\ Leftrightarrow 5{x^2} + 5 ge m{x^2} + 4x + m Leftrightarrow left( {m – 5} right){x^2} + 4x + m – 5 le 0,forall x in R\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m – 5 < 0\Delta ‘ = 4 – {left( {m – 5} right)^2} le 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m < 5\ – {m^2} + 10m – 21 le 0end{array} right. Leftrightarrow m le 3end{array})
Kết hợp với điều kiện trên ta được (2 < m le 3).
Do đó giá trị lớn nhất của (m) thỏa mãn là (m = 3).
Chọn D.