I. Một số công thức cần nhớ để đổi biến trong tích phân
– Vi phân:
(begin{array}{l}t = uleft( x right) Rightarrow dt = u’left( x right)dx\uleft( t right) = vleft( x right) Rightarrow u’left( t right)dt = v’left( x right)dxend{array})
– Công thức đổi biến: (intlimits_a^b {fleft[ {uleft( x right)} right]u’left( x right)dx} = intlimits_{tleft( a right)}^{tleft( b right)} {fleft( t right)dt} )
II. Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x)
– Bước 1: Đặt (t = uleft( x right)), đổi cận (left{ begin{array}{l}x = a Rightarrow t = uleft( a right) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b right) = b’end{array} right.) .
– Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x right)dx).
– Bước 3: Biến đổi (fleft( x right)dx) thành (gleft( t right)dt).
– Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b {fleft( x right)dx} = intlimits_{a’}^{b’} {gleft( t right)dt} ).
Ví dụ: Tính tích phân (intlimits_0^{sqrt 3 } {2xsqrt {{x^2} + 1} dx} ).
Giải:
Đặt (t = sqrt {{x^2} + 1} Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 ) ( Rightarrow 2tdt = 2xdx).
Đổi cận (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 1\x = sqrt 3 Rightarrow t = 2end{array} right.)
Do đó: (intlimits_0^{sqrt 3 } {2xsqrt {{x^2} + 1} dx} = intlimits_1^2 {t.2tdt} = left. {dfrac{2}{3}{t^3}} right|_1^2 = dfrac{2}{3}left( {{2^3} – {1^3}} right) = dfrac{{14}}{3}).
III. Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t)
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (x = uleft( t right)), đổi cận (left{ begin{array}{l}x = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’end{array} right.).
– Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t right)dt).
– Bước 3: Biến đổi (fleft( x right)dx = fleft( {uleft( t right)} right).u’left( t right)dt = gleft( t right)dt).
– Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức (intlimits_a^b {fleft( x right)dx} = intlimits_{a’}^{b’} {gleft( t right)dt} )
Ví dụ: Cho $I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {sqrt {1 – {x^2}} {rm{d}}x} $, nếu đặt $x = sin t$ thì:
A. $I = 2intlimits_0^1 {left( {1 + cos 2t} right){rm{d}}t} $
B. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{1 – cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $
C. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{1 + cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $
D. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{cos 2t – 1}}{2}{rm{d}}t} $
Giải:
Đặt $x = sin t Leftrightarrow dx = cos t,dt$ và $1 – {x^2} = 1 – {sin ^2}t = {cos ^2}t$
Đổi cận (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0\x = dfrac{pi }{2} Rightarrow t = 1end{array} right.)
Suy ra
$I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {sqrt {1 – {x^2}} {rm{d}}x} = intlimits_0^1 {sqrt {{{cos }^2}t} cos t{rm{d}}t} $ $= intlimits_0^1 {{{cos }^2}t{rm{d}}t} = intlimits_0^1 {dfrac{{1 + cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $
Chọn C.
Chú ý:
Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:
Reader Interactions