I. Tính diện tích hình phẳng khi biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = fleft( x right)), trục (Ox) và hai đường thẳng (x = a,x = bleft( {a < b} right)):
Công thức:
(S = intlimits_a^b {left| {fleft( x right)} right|dx} )
Các bước thực hiện:
+ Bước 1: Gọi (S) là diện tích cần xác định, ta có: (S=int_{a}^{b}|f(x)| d x).
+ Bước 2: Xét dấu biểu thức (f(x)) trên ([a ; b]). Từ đó phân được đoạn ([a ; b]) thành các đoạn nhỏ, giả sử: ([a ; b]=left[a ; c_{1}right] cupleft[c_{1} ; c_{2}right] cup ldots cupleft[c_{k} ; bright]) mà trên mỗi đoạn (f(x)) chỉ có một dấu.
+Bước 3: (S=int_{a}^{c_{1}}|f(x)| d x+int_{c_{1}}^{c_{2}}|f(x)| d x+ldots+int_{c_{k}}^{b}|f(x)| d x).
Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (x=f(y)) (liên tục trên đoạn ([a ; b]) ) hai đường thẳng (y=a, y=b) và trục (O y)”, khi đó công thức tính diện tích là: (S=int_{a}^{b}|f(y)| dy ).
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = fleft( x right),y = gleft( x right)) và hai đường thẳng (x = a,x = bleft( {a < b} right)):
Công thức:
(S = intlimits_a^b {left| {fleft( x right) – gleft( x right)} right|dx} )
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.
A. $3ln 6$
B. (3ln dfrac{3}{2})
C. (3ln dfrac{3}{2} – 2)
D.(3ln dfrac{3}{2} – 1)
Giải:
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $left( {-1;0} right)$, cắt $Oy$ tại $left( {0; – dfrac{1}{2}} right)$.
Hàm số $y = dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ có (y’ = dfrac{{ – 3}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} < 0,forall x in left( { – 1;0} right)) nên hàm số $y = dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ nghịch biến trên $left( {-1;0} right)$.
Do đó (y < 0,forall x in left( { – 1;0} right))
Do đó $S = intlimits_{ – 1}^0 {left| {dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}} right|} dx = intlimits_{ – 1}^0 {left( { – dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}} right)} dx = – intlimits_{ – 1}^0 {left( {1 + dfrac{3}{{x – 2}}} right)} dx $
$= – left( {x + 3ln left| {x – 2} right|mathop |nolimits_{ – 1}^0 } right) = – 3ln 2 – 1 + 3ln 3 = 3ln dfrac{3}{2} – 1$
Chọn D.
II. Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
– Bước 1: Giải phương trình (fleft( x right) = gleft( x right)) tìm nghiệm.
– Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức (left| {fleft( x right) – gleft( x right)} right|)
– Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:
(S = intlimits_a^b {left| {fleft( x right) – gleft( x right)} right|dx} )