Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm, tính chất, định nghĩa, định lý
I. Vi phân của hàm số
Vi phân của hàm số $y=fleft( x right)$ được ký hiệu là $dy$ và cho bởi $dy=dfleft( x right)={y}’dx={f}’left( x right)dx$
II. Nguyên hàm là gì?
1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số $fleft( x right)$ xác định trên $K$. Hàm số $Fleft( x right)$ được gọi là nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$ nếu ${F}’left( x right)=fleft( x right)$ với mọi $x$ thuộc $K$.
2. Định lý
Định lý 1: Nếu $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $Gleft( x right)=Fleft( x right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$.
Định lý 2: Nếu $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của hàm số $Fleft( x right)$ trên $K$ đều có dạng $Fleft( x right)+C$ với $C$ là một hằng số.
3. Tính chất của nguyên hàm
Nếu $fleft( x right)$ và $gleft( x right)$ là hai hàm số liên tục trên $K$ thì
– Tính chất 1:$int{{f}’left( x right)dx=fleft( x right)+C}$
– Tính chất 2: $int{k.fleft( x right)dx=k.int{fleft( x right)dx}}$, với $k$ là số thực khác 0.
– Tính chất 3: $int{left[ fleft( x right)pm gleft( x right) right]dx=int{fleft( x right)dxpm int{gleft( x right)dx}}}$
4. Bảng công thức nguyên hàm
|
Bảng công thức nguyên hàm thường gặp |
|
|
Các công thức nguyên hàm |
Công thức nguyên hàm của hàm hợp |
|
$int{{{x}^{n}}}dx=frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C$ $left( nne -1 right)$ |
$int{{{u}^{n}}}dx=frac{{{u}^{n+1}}}{n+1}+C$ $left( nne -1 right)$ |
|
$int{sin xdx=-cos x+C}$ |
$int{operatorname{sinu}du=-operatorname{cosu}+C}$ |
|
$int{cos xdx=sin x+C}$ |
$int{cos udu=sin u+C}$ |
|
$int{frac{1}{{{cos }^{2}}x}dx=tan x+C}$ |
$int{frac{1}{{{cos }^{2}}u}du=tan u+C}$ |
|
$int{frac{1}{{{sin }^{2}}x}dx=-cot x+C}$ |
$int{frac{1}{{{sin }^{2}}u}du=-cot u+C}$ |
|
$int{frac{1}{x}dx=ln left| x right|+C}$ |
$int{frac{1}{u}du=ln left| u right|+C}$ |
|
$int{{{e}^{x}}}dx={{e}^{x}}+C$ |
$int{{{e}^{u}}}du={{e}^{u}}+C$ |
|
$int{{{a}^{x}}dx=frac{{{a}^{x}}}{ln a}+C}$ |
$int{{{a}^{u}}du=frac{{{a}^{u}}}{ln a}+C}$ |
Đặc biệt: $int{0dx=C}$; $int{dx=x+C}$.