(Sở Bắc Giang 2022) Có bao nhiêu số nguyên dương (x) sao cho ứng với mỗi (x) có đúng 9 số nguyên (y) thỏa mãn (left( {{2^{y + 1}} – {x^2}} right)left( {{3^y} – x} right) < 0) ?
A. (64.)
B. (67.)
C. 128.
D. 53.
Lời giải:
THl: (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} > 0}\{{3^y} – x < 0}end{array} Leftrightarrow {{log }_2}{x^2} – 1 < y < {{log }_3}x} right.) (1).
Điều kiện cần ({log _2}{x^2} – 1 < {log _3}x Leftrightarrow 2{log _2}x – 1 < log ) Vì (x in {mathbb{Z}^ + } Rightarrow x = 1.) Thử lại (x = 1) loại.
TH2: (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} < 0}\{{3^y} – x > 0}end{array} Leftrightarrow {{log }_3}x < y < {{log }_2}{x^2} – 1(2)} right.)
Để có đúng 9 số nguyên (y) ta phải có (y – 1 le {log _3}x < y < y + 1 < ldots < y + 8 < {log _2}{x^2} – 1 le y + 9) ( Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{3^{y – 1}} le x < {3^y}}\{{2^{frac{{y + 9}}{2}}} < x le {2^{frac{{y + 10}}{2}}}.}end{array}} right.)
Hệ trên vô nghiệm ( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{{2^{frac{{y + 10}}{2}}} < {3^{y – 1}}}\{{3^y} le {2^{frac{{y + 9}}{2}}}}end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{y > 6,06 ldots }\{y le 4,14 ldots .}end{array}} right.} right.).
Từ đó, y nguyên ta được hệ có nghiệm khi (left[ {begin{array}{*{20}{l}}{y = 5}\{y = 6}end{array}} right.).
Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài toán
( + y in { 5;6; ldots ;13} ) nghĩa là (4 le {log _3}x < 5;6; ldots ;13 < {log _2}{x^2} – 1 le 14), ta được (x in { 129; ldots 181} ) có
53 số nguyên.
( + y in { 6; ldots ;14} ) nghĩa là (5 le {log _3}x < 6;7; ldots ;14 < {log _2}{x^2} – 1 le 15), ta được (x in { 243; ldots 256} ) có
14 số nguyên.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm hàm số mũ – lôgarit