Số điểm cực trị của hàm số (fleft( x right) = intlimits_{2x}^{{x^2}} {dfrac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} ) là:

(begin{array}{l}fleft( x right) = intlimits_{2x}^{{x^2}} {dfrac{{2tdt}}{{{t^2} + 1}}}  = intlimits_{2x}^{{x^2}} {dfrac{{dleft( {{t^2} + 1} right)}}{{{t^2} + 1}}} \ = left. {ln left( {{t^2} + 1} right)} right|_{2x}^{{x^2}} = ln left( {{x^4} + 1} right) – ln left( {4{x^2} + 1} right)\f’left( x right) = dfrac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 1}} – dfrac{{8x}}{{4{x^2} + 1}} = dfrac{{4{x^3}left( {4{x^2} + 1} right) – 8xleft( {{x^4} + 1} right)}}{{left( {4{x^2} + 1} right)left( {{x^4} + 1} right)}}\ = dfrac{{8{x^5} + 4{x^3} – 8x}}{{left( {4{x^2} + 1} right)left( {{x^4} + 1} right)}} = dfrac{{4xleft( {2{x^4} + {x^2} – 2} right)}}{{left( {4{x^2} + 1} right)left( {{x^4} + 1} right)}}end{array})

Nhận xét:

Phương trình (2{x^4} + {x^2} – 2 = 0) có 2 nghiệm phân biệt ( pm dfrac{{sqrt { – 1 + sqrt {17} } }}{2}) và (2{x^4} + {x^2} – 2) đổi dấu tại 2 điểm này.

(4x) đổi dấu tại (x = 0)

(left( {4{x^2} + 1} right)left( {{x^4} + 1} right) > 0,,forall x)

( Rightarrow f’left( x right)) đổi dấu tại 3 điểm là (x =  pm dfrac{{sqrt { – 1 + sqrt {17} } }}{2}) và (x = 0)

( Rightarrow ) Số điểm cực trị của hàm số (fleft( x right) = intlimits_{2x}^{{x^2}} {dfrac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} ) là 3.

Chọn: D