(Sở Lạng Sơn 2022) Với ({rm{a}})là tham số thực để bất phương trình ({2^x} + {3^x} ge ax + 2) có tập nghiệm là (R), khi đó

A. (a in left( {1;3} right)).

B. (a in left( {0;1} right)).

C. (a in left( { – infty ;0} right)).

D. (a in left( {3; + infty } right)).

Lời giải:

Chọn A

({2^x} + {3^x} ge ax + 2)( Leftrightarrow )({2^x} + {3^x} – ax – 2 ge 0,forall x in mathbb{R})(1).

Xét (f(x) = {2^x} + {3^x} – ax – 2) liên tục trên (R).

Ta có

(f'(0) = {2^0} + {3^0} – a.0 – 2 = 0)

(f'(x) = {2^x}ln 2 + {3^x}ln 3 – a).

Để (fleft( x right) ge 0,forall x in mathbb{R} Leftrightarrow fleft( x right) ge fleft( 0 right),forall x in mathbb{R})

( Rightarrow x = 0) là điểm cực tiểu

Vì (x = 0) là điểm cực tiểu (f’left( 0 right) = 0 Leftrightarrow ln 3 + ln 2 = a Leftrightarrow a = ln 6)

Thử lại:

(begin{array}{l}a = ln 6 Rightarrow fleft( x right) = {2^x} + {3^x} – ln 6.x – 2\f’left( x right) = {2^x}ln 2 + {3^x}ln 3 – ln 6end{array})

Ta có vế trái (hleft( x right) = {2^x}ln 2 + {3^x}ln 3) đồng biến; vế phải (kleft( x right) = ln 6) là hàm hằng.

( Leftrightarrow x = 0)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ( Rightarrow fleft( x right) ge 0,forall x in mathbb{R})

Vậy (a = ln 6).