(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số bậc bốn (f(x)) có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ:
Số điểm cực tiểu của hàm số (g(x) = 4fleft( {{x^2} – 4} right) + {x^4} – 8{x^2}) là
A. 4.
B. 7.
C. 3.
D. 5.
Lời giải:
Có (gprime (x) = 8xfprime left( {{x^2} – 4} right) + 4{x^3} – 16x = 8xleft( {fprime left( {{x^2} – 4} right) + frac{{{x^2} – 4}}{2}} right)).
Xét (fprime (x) + frac{x}{2} = 0 Leftrightarrow fprime (x) = – frac{x}{2} Leftrightarrow x = – 2;x = 0;x = 4). Suy ra (fprime (x) + frac{x}{2}) là đa thức bậc ba có 3 nghiệm là (x = – 2;x = 0;x = 4) nên (fprime (x) + frac{x}{2} = a(x + 2)x(x – 4),left( {a > 0;mathop {lim }limits_{x to + infty } fprime (x) = + infty } right)).
Do đó (gprime (x) = 8axleft( {{x^2} – 4 + 2} right)left( {{x^2} – 4} right)left( {{x^2} – 4 – 4} right) = 8axleft( {{x^2} – 2} right)left( {{x^2} – 4} right)left( {{x^2} – 8} right)) đổi dấu tử âm sang dương khi qua các điểm (x = – 2sqrt 2 ;x = – sqrt 2 ;x = sqrt 2 ;x = 2sqrt 2 ) nên (g(x)) có 4 điểm cực tiểu.