Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 – cách giải {} bài tập có đáp án
Phương pháp giải bài toán tương giao đồ thị hàm bậc 3
Xét đồ thị $left( C right):y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dleft( ane 0 right)$ và đường thẳng $d:y=kx+ell $
Hoành độ giao điểm của $y=x+m$ và $left( C right)$ là nghiệm của phương trình
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=kx+ell Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+(x-k)x+d-ell =0$ (1)
$to $ Số giao điểm của d và $left( C right)$ là nghiệm của phương trình (1).
- Trường hợp 1: Phương trình (1) có một nghiệm đẹp $x={{x}_{o}}$
Khi đó (1) thành $left( x-{{x}_{o}} right).left( A{{x}^{2}}+Bx+C right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x={{x}_{o}} \ {} g(x)=A{{x}^{2}}+Bx+C=0 \ end{array} right.$
– Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác ${{x}_{o}}Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{Delta }_{g(x)}}>0 \ {} g({{x}_{o}})ne 0 \ end{array} right.$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$ khi đó tọa độ các giao điểm của d và $left( C right)$ là:
$Aleft( {{x}_{o}};k{{x}_{o}}+ell right),Bleft( {{x}_{1}};k{{x}_{1}}+ell right),Cleft( {{x}_{2}};k{{x}_{2}}+ell right)$ trong đó $left{ begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{-B}{A} \ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=frac{C}{A} \ end{array} right.$ ( Định lý Viet).
– Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow g(x)=0$ có nghiệm kép khác ${{x}_{o}}$ hoặc $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm bằng ${{x}_{o}}$và nghiệm còn lại khác ${{x}_{o}}$.
– Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $Leftrightarrow g(x)=0$ vô nghiệm hoặc $g(x)=0$ có nghiệm kép $x={{x}_{o}}$.
- Trường hợp 2: Phương trình (1) không có một nghiệm đẹp $x={{x}_{o}}$ nhưng cô lập được tham số.
Khi đó ta biến đổi (1) thành $varphi (x)=h(m)$ .
Từ đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=varphi (x)$và $y=h(m)$
Lập bảng biến thiên cho hàm số $y=varphi (x)Rightarrow $Kết luận.
Bài tập trắc nghiệm tương giao của hàm bậc 3 có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1left( C right)$ . Tìm giá trị của tham số m để $left( C right)$ cắt đường thẳng $y=mx+1$ tại 3 điểm phân biệt.
A. $left{ begin{array} {} m>frac{3}{2} \ {} mne 2 \ end{array} right.$ B. $left{ begin{array} {} m>frac{-9}{8} \ {} mne 1 \ end{array} right.$ C. $m>frac{-9}{8}$ D. $left{ begin{array} {} m>-frac{9}{8} \ {} mne 0 \ end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là
$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=mx+1Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} g(x)=2{{x}^{2}}-3x-m=0 \ end{array} right.$
ĐK cắt tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{Delta }_{g(x)}}=9+8m>0 \ {} g(0)=-mne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m>frac{-9}{8} \ {} mne 0 \end{array} right.$ . Chọn D.
| Bài tập 2: Tìm m để đồ thị hàm số $y=left( x-2 right)left[ {{x}^{2}}-left( 2m+1 right)x+{{m}^{2}}+m right]$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
A. Không tồn tại m B. $m2$ C. $mne 1,mne 2$ D. $forall min mathbb{R}$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $left( C right)$ và trục hoành là
$(1)Leftrightarrow left( x-2 right)left[ {{x}^{2}}-left( 2m+1 right)x+{{m}^{2}}+m right]=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} f(x)={{x}^{2}}-left( 2m+1 right)x+{{m}^{2}}+m=0 \ end{array} right.$
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt
$xne 2Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta >0 \ {} f(2)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{left( 2m+1 right)}^{2}}-4left( {{m}^{2}}+m right)>0 \ {} 4-2left( 2m+1 right)+{{m}^{2}}+mne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 1>0 \ {} mne 1 \ {} mne 2 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} mne 1 \ {} mne 2 \ end{array} right.$ . Chọn C.
| Bài tập 3: Số các giá trị nguyên của tham số m để $min left[ -10;10 right]$ đường thẳng $y=4x-5$ cắt đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-(m+2)x+2m-1$ tại ba điểm phân biệt là
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là
${{x}^{3}}-(m+2)x+2m-1=4x+5Leftrightarrow {{x}^{3}}-(m+6)x+2m+4=0(*)$
$(x-2)({{x}^{2}}+2x-m-2)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} f(x)={{x}^{2}}+2x-m-2=0 \ end{array} right.$
Hai đồ thị có giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có ba nghiệm phân biệt, khi đó PT $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $xne 2Leftrightarrow left{ begin{array} {} {Delta }’>0 \ {} f(2)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 1+m+2>0 \ {} 4+4-m-2ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m>-3 \ {} mne 6 \ end{array} right.$
Kết hợp $left{ begin{array} {} min left[ -10;10 right] \ {} min mathbb{Z} \ end{array} right.Rightarrow $ có 12 giá trị của m. Chọn C.
| Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $left( C right):y=left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-2mx+m right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
A. $min left( 1;+infty right)backslash left{ frac{4}{3} right}$ B. $min left( -infty ;0 right)cup left( 1;frac{4}{3} right)cup left( frac{4}{3};+infty right)$ C. $min left( 1;+infty right)$ D. $min left( 0;+infty right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là $left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-2mx+m right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} f(x)={{x}^{2}}-2mx+m=0 \ end{array} right.$
$left( C right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương $Leftrightarrow $ PT $f(x)=0$ có hai nghiệm $x>0,xne 2$
Suy ra $left{ begin{array} {} {Delta }’>0 \ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}>0 \ {} f(2)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{m}^{2}}-m>0 \ {} 2m>0 \ {} m>0 \ {} 4-4m+mne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m>1 \ {} mne frac{4}{3} \ end{array} right.Leftrightarrow min left( 1;+infty right)backslash left{ frac{4}{3} right}$ . Chọn A.
| Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+(m+2)x-m$ và đồ thị hàm số $y=2x-2$ có ba điểm chung phân biệt
A. $m<3$ B. $m<2$ C. $m>3$ D. $m>2$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+(m+2)x-m=2x-2Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-m+2=0Leftrightarrow left( x-1 right)left( {{x}^{2}}-2x+m-2 right)=0left( * right)$
Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt khi và chỉ khi pt (*) có ba nghiệm phân biệt. Khi đó
$left( x-1 right)left( {{x}^{2}}-2x+m-2 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} f(x)={{x}^{2}}-2x+m-2=0 \ end{array} right.$
Yêu cầu bài toán $Rightarrow left{ begin{array} {} f(1)ne 1 \ {} {{{{Delta }’}}_{f(x)}}>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 1-2+m-2ne 0 \ {} 1-m+2>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} mne 3 \ {} m<3 \ end{array} right.Rightarrow m<3$ . Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=left( x-1 right)left( {{x}^{2}}+mx+1 right)left( C right)$. Số các giá trị của m thỏa mãn đồ thị $left( C right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=10$là
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và trục Ox là:
$left( x-1 right)left( {{x}^{2}}+mx+1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{3}}=2 \ {} f(x)={{x}^{2}}+mx+1=0 \ end{array} right.left( 1 right)$
Đồ thị $left( C right)$cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow $ $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 $Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta ={{m}^{2}}-4>0 \ {} g(1)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{m}^{2}}>4 \ {} m+2ne 0 \ end{array} right.$
Khi đó cho ${{x}_{3}}=1$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$. Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1 \ end{array} right.$
Theo đề bài ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=10Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9Leftrightarrow {{m}^{2}}-2=9$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}=11Leftrightarrow m=pm sqrt{11}left( t/m right)$
Vậy $m=pm sqrt{11}$là giá trị cần tìm . Chọn B.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-mx+m-1left( C right)$. Gọi ${{m}_{o}}$ là giá trị của m để đồ thị $left( C right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ thỏa mãn: $A=frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}+frac{1}{{{x}_{3}}}=2$ . Khi đó:
A. ${{m}_{o}}in left( -2;0 right)$ B. ${{m}_{o}}in left( 0;3 right)$ C. ${{m}_{o}}in left( 3;5 right)$ D. ${{m}_{o}}in left( 5;7 right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và trục Ox là: ${{x}^{3}}-mx+m-1=0$
${{x}^{3}}-1-m(x-1)=0Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}+x+1-m)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{3}}=1 \ {} g(x)={{x}^{2}}+x+1-m=0 \ end{array} right.left( 1 right)$
Để đồ thị $left( C right)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta =1-4(1-m)=4m-3>0 \ {} g(1)=3-mne 0 \ end{array} right.left( * right)$
Khi đó gọi ${{x}_{3}}=1$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$
Theo Viet ta có: $left{ begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1-m \ end{array} right.$
Do vậy $A=frac{1}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}+1=frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}+1=frac{-1}{1-m}+1=2Leftrightarrow m=2left( tm right)$
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Chọn B.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-1$có đồ thị $left( {{C}_{m}} right)$ , với m là tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để $left( {{C}_{m}} right)$ cắt đường thẳng $d:y=x-1$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}le 20$
A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm
${{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-1=x-1Leftrightarrow x({{x}^{2}}-2mx-1)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} {{x}^{2}}-2mx-1=0 \ end{array} right.left( 1 right)$
Ta có d cắt $left( {{C}_{m}} right)$ tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {Delta }’={{m}^{2}}+1>0 \ {} {{0}^{2}}-2m.0-1ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow min mathbb{R}$ (*)
Giả sử ${{x}_{3}}=0$ khi đó ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của (1), theo Viet có $left{ begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \ end{array} right.$
Do đó $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}le 20Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}le 20Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+2le 20Leftrightarrow {{m}^{2}}le frac{9}{2}Leftrightarrow -frac{3}{sqrt{2}}le mle frac{3}{sqrt{2}}$
Mà $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ pm 2;pm 1;0 right}$ . Chọn C
| Bài tập 9: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-xleft( C right)$ và đường thẳng $d:y=m(x-1)$ . Gọi ${{m}_{o}}$ là giá trị của m để đồ thị $left( C right)$ cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A; B; C sao cho điểm $Mleft( -frac{1}{2};-9 right)$ là trung điểm của đoạn AB trong đó $Cleft( 1;0 right)$ . Khi đó:
A. ${{m}_{o}}<-1$ B. ${{m}_{o}}in left( 0;4 right)$ C. ${{m}_{o}}in left( 4;7 right)$ D. ${{m}_{o}}in left( 7;+infty right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và đường thẳng d là: $xleft( {{x}^{2}}-1 right)-mleft( x-1 right)=0$
$Leftrightarrow left( x-1 right)left( {{x}^{2}}+x right)-mleft( x-1 right)=0Leftrightarrow left( x-1 right)left( {{x}^{2}}+x-m right)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=1 \ {} g(x)={{x}^{2}}+x-m=0 \ end{array} right.$
Đồ thị $left( C right)$ cắt d tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 $Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta =1+4m>0 \ {} g(1)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 4m+1>0 \ {} 2-mne 0 \ end{array} right.(*)$
Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của PT $g(x)=0$ . Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m \ end{array} right.$
Ta có: $Aleft( {{x}_{1}};mleft( {{x}_{1}}-1 right) right);Bleft( {{x}_{2}};mleft( {{x}_{1}}-1 right) right)$ , trung điểm của AB là
$left{ begin{array} {} {{x}_{M}}=frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=frac{-1}{2} \ {} {{y}_{M}}=frac{mleft( {{x}_{1}}-1 right)+mleft( {{x}_{2}}-1 right)}{2}=frac{mleft( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)-2m}{2}=frac{-3m}{2} \ end{array} right.$
Theo bài ra $Mleft( -frac{1}{2};0 right)$ nên $frac{-3m}{2}=-9Leftrightarrow m=6left( tm right)$
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm. Chọn C.
| Bài tập 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng $y=mx-m+1$ cắt đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+2$ tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC.
A. $min left( -infty ;0 right]cup left[ 4;+infty right)$ B. $min left( -frac{5}{4};+infty right)$ C. $min left( -2;+infty right)$ D. $min mathbb{R}$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+2=mleft( x-1 right)+1$
$left( x-1 right)left( {{x}^{2}}-2x-1-m right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} g(x)={{x}^{2}}-2x-1-m=0 \ end{array} right.$
Giả thiết bài toán B là trung điểm của AC hay $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{1}}ne 1$ thỏa mãn
$Leftrightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{C}}=2{{x}_{B}}Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{{{Delta }’}}_{g(x)}}=2+m>0 \ {} g(1)=-2-mne 0Leftrightarrow m>-2 \ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \ end{array} right.$ . Chọn C.
| Bài tập 11: Cho hàm số: $y={{x}^{3}}+left( m+2 right)x-mleft( C right)$ và đường thẳng $d:y=2x+1$. Số giá trị nguyên của m để đồ thị $left( C right)$ cắt đường $y=x+m$ tại 3 điểm phân biệt có tung độ ${{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}$ thỏa mãn $A=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}le 83$
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và đường thẳng d là: ${{x}^{3}}+mx-m-1=0$
$Leftrightarrow left( x-1 right)left( {{x}^{2}}+x+1-m right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{3}}=1Rightarrow {{y}_{3}}=3 \ {} g(x)={{x}^{2}}+x+1-m=0 \ end{array} right.left( 1 right)$
Đồ thị $left( C right)$ cắt $y=x+m$ tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow left( 1 right)$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1$Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta =1-4(1-m)>0 \ {} g(1)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 4m-3>0 \ {} 3-mne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} mge frac{3}{4} \ {} mne 3 \ end{array} right.(*)$
Khi đó cho ${{x}_{3}}=1;{{y}_{3}}=3$ và ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$
Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m \ end{array} right.$
Theo đề bài ta có: $A=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}={{left( 2{{x}_{1}}+1 right)}^{2}}+{{left( 2{{x}_{2}}+1 right)}^{2}}+9=4left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)+4left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+11$
$A=4left[ {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} right]+4left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+11=4left[ 1-2left( 1-m right) right]-4+11=8m+3le 83Leftrightarrow mle 10$
Kết hợp (*) và$min mathbb{Z}Rightarrow $ có 9 giá trị của m. Chọn A.
| Bài tập 12: Cho hàm số: $y={{x}^{3}}+mx-4left( C right)$ và đường thẳng $d:y=2mx+4$. Gọi ${{m}_{o}}$ là giá trị của m để d cắt $left( C right)$ tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho trọng tâm tam giác OAB là $Gleft( -frac{2}{3};8 right)$ trong đó $left( C right)$ là điểm có hoành độ ${{x}_{C}}=2$ và O là gốc tọa độ. Khi đó
A. ${{m}_{o}}in left( -5;-2 right)$ B. ${{m}_{o}}in left( -1;3 right)$ C. ${{m}_{o}}in left( 3;6 right)$ D. ${{m}_{o}}in left( 6;+infty right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và d là: ${{x}^{3}}+mx-2mx-8=0$
$Leftrightarrow left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)+mleft( x-2 right)=0Leftrightarrow left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4+m right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2Rightarrow Cleft( 2;4m+4 right) \ {} g(x)={{x}^{2}}+2x+4+m=0 \ end{array} right.left( 1 right)$
Để đồ thị $left( C right)$ cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {Delta }’=1-4-m=-m-3>0 \ {} gleft( 2 right)=12+mne 0 \ end{array} right.(*)$
Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$ . Theo Viet ta có: $left{ begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4+m \ end{array} right.$
Gọi $Aleft( {{x}_{1}};2m{{x}_{1}}+4 right);Bleft( {{x}_{2}};2m{{x}_{2}}+4 right)$ ta có: $left{ begin{array} {} {{x}_{o}}=frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+0}{3}=frac{-2}{3} \ {} {{y}_{o}}=frac{2m{{x}_{1}}+4+2m{{x}_{2}}+4+0}{3}=frac{2mleft( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+8}{3} \ end{array} right.$
Do vậy $Gleft( -frac{2}{3};frac{8-4m}{3} right)$ . Cho $frac{8-4m}{3}=8Leftrightarrow m=-4(tm)$
Vậy $m=-4$ là giá trị cần tìm. Chọn A.