Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương – Cách giải bài tập có đáp án
Phương pháp giải bài toán tương giao của hàm bậc 4 trùng phương.
Xét sự tương giao đồ thị $left( C right):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+cleft( ane 0 right)$ và trục hoành có phương trình $y=0$
Phương trình hoành độ giao điểm $left( C right)$ và trục hoành là $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0left( 1 right)$
Bài toán liên quan đến số giao điểm
Số giao điểm của đồ thị $left( C right)$ và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (1).
Đặt $t={{x}^{2}}ge 0$ thì (1) thành $a{{t}^{2}}+bt+c=0(2)$
+) $left( C right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm dương phân biệt
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta ={{b}^{2}}-4ac>0 \ {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-frac{b}{a}>0 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=frac{c}{a}>0 \ end{array} right.$
+) $left( C right)$ cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$ có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0.
$left( C right)$ cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái dấu.
+) $left( C right)$ cắt trục hoành tại điểm duy nhất $Leftrightarrow (2)$có nghiệm kép bằng 0 hoặc (2) có một nghiệm bằng 0 hoặc một nghiệm âm.
+) $left( C right)$ không cắt trục hoành $Leftrightarrow (2)$ vô nghiệm, có nghiệm kép âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt đều âm
Một số bài toán có thể thay trục hoành thành $d:y=m$ hoặc $(P):y=m{{x}^{2}}+n$ , phương pháp giải hoàn toàn tương tự như trên.
Bài toán liên quan đến tính chất giao điểm
Tìm điều kiện để $(C):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+cleft( ane 0 right)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}}$ và ${{t}_{2}}$ $Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta ={{b}^{2}}-4ac>0 \ {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-frac{b}{a}>0 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=frac{c}{a}>0 \ end{array} right.$ (*)
Bước 2: Giả sử ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$ khi đó các nghiệm của (1) sắp xếp theo thứ tự tăng dần là $-sqrt{{{t}_{1}}};-sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{1}}}$, xử lý điều kiện và tìm giá trị của tham số.
Đặc biệt: Khi hoành độ 4 điểm A, B, C, D lập thành cấp số cộng hoặc $AB=BC=CD$ khi: $sqrt{{{t}_{1}}}-sqrt{{{t}_{2}}}=2sqrt{{{t}_{2}}}Leftrightarrow sqrt{{{t}_{1}}}=3sqrt{{{t}_{2}}}Leftrightarrow {{t}_{1}}=9{{t}_{2}}$
Bài tập trắc nghiệm tương giao của hàm bậc 4, hàm trùng phương có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+5-2m$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là:
A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+5-2m=0$
Đặt $t={{x}^{2}},tge 0Rightarrow PTLeftrightarrow {{t}^{2}}-8t+5-2m=0left( * right)$
Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$
Khi đó $left{ begin{array} {} {Delta }'(*)>0 \ {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 16-(5-2m)>0 \ {} 8>0 \ {} 5-2m>0 \ end{array} right.Leftrightarrow -frac{11}{2}<m<frac{5}{2}$
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow $ Có 8 giá trị của m. Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2left( m-2 right){{x}^{2}}+4$ có đồ thị $left( {{C}_{m}} right)$ , với m là tham số thực. Tìm tập hợp T gồm tất cả các giá trị của tham số m để $left( {{C}_{m}} right)$ cắt Ox tại bốn điểm phân biệt
A. $T=left( 0;2 right)$ B. $T=left( 4;+infty right)$ C. $T=left( -infty ;0 right)cup left( 4;+infty right)$ D. $T=left( -infty ;0 right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{4}}+2left( m-2 right){{x}^{2}}+4=0xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}+2left( m-2 right)t+4=0(*)$
Đồ thị hàm số và trục hoành có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT hoành độ giáo điểm có 4 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt $t>0Rightarrow left{ begin{array} {} {Delta }'(*)>0 \ {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{left( m-2 right)}^{2}}-4>0 \ {} -2(m-2)>0 \ {} 4>0 \ end{array} right.$
$Rightarrow m<0Rightarrow T=left( -infty ;0 right)$ . Chọn D.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+1left( C right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để $left( C right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=20$. Tổng các phần tử của tập hợp (S) là:
A. 1 B. – 1 C. 2 D. – 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và Ox là ${{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+1=0left( 1 right)$
Đặt $t={{x}^{2}}:left( 1 right)Rightarrow {{t}^{2}}-2mt+m+1=0left( 2 right)$
Để $left( C right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {Delta }’={{m}^{2}}-m-1>0 \ {} S=2m>0 \ {} P=m+1>0 \ end{array} right.left( * right)$ . Theo Viet: $left{ begin{array} {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m+1 \ end{array} right.$
Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm $-sqrt{{{t}_{1}}};-sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{1}}}$
Ta có: giả thiết bài toán $Leftrightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{2}^{2}+t_{1}^{2}=20Leftrightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=10Leftrightarrow {{left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} right)}^{2}}-2{{t}_{1}}{{t}_{2}}=10$
$Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2m-2=10Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-m-6=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=2 \ {} m=-3 \ end{array} right.$
Kết hợp (*) $Rightarrow m=2$ là giá trị cần tìm. Chọn C.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-(2m+1){{x}^{2}}+2left( C right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để $left( C right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn $frac{1}{x_{1}^{4}}+frac{1}{x_{2}^{4}}+frac{1}{x_{3}^{4}}+frac{1}{x_{4}^{4}}=frac{5}{2}$
Số phần tử của tập hợp S là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và Ox là ${{x}^{4}}-(2m+1){{x}^{2}}+2=0left( 1 right)$
Đặt $t={{x}^{2}}:left( 1 right)Rightarrow {{t}^{2}}-(2m+1)t+2=0left( 2 right)$
Để $left( C right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta ={{left( 2m+1 right)}^{2}}-8>0 \ {} S=2m+1>0 \ {} P=2>0 \ end{array} right.left( * right)$ . Theo Viet: $left{ begin{array} {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+1 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2 \ end{array} right.$
+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm $-sqrt{{{t}_{1}}};-sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{1}}}$ ta có: $frac{1}{t_{1}^{2}}+frac{1}{t_{2}^{2}}+frac{1}{t_{3}^{2}}+frac{1}{t_{4}^{2}}=frac{5}{2}$
$Leftrightarrow frac{2}{t_{1}^{2}}+frac{2}{t_{2}^{2}}=frac{5}{2}Leftrightarrow frac{2left( t_{1}^{2}+t_{2}^{2} right)}{t_{1}^{2}.t_{2}^{2}}=frac{5}{2}Leftrightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=5Leftrightarrow {{left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} right)}^{2}}-2{{t}_{1}}{{t}_{2}}=5Leftrightarrow {{left( 2m+1 right)}^{2}}=9Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=1 \ {} m=-2 \ end{array} right.$
Kết hợp (*) $Rightarrow m=1$ là giá trị cần tìm. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho hàm số: $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+4left( C right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để $left( C right)$ cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$ thỏa mãn: $left| {{x}_{1}} right|+left| {{x}_{2}} right|+left| {{x}_{3}} right|+left| {{x}_{4}} right|=8$ . Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 5 B. 12 C. 17 D. – 17 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và Ox là ${{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+4=0left( 1 right)$
Đặt $t={{x}^{2}}:left( 1 right)Rightarrow {{t}^{2}}-2mt+m+4=0left( 2 right)$
Để $left( C right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {Delta }’={{m}^{2}}-m-4>0 \ {} S=2m>0 \ {} P=m+4>0 \ end{array} right.left( * right)$ . Theo Viet: $left{ begin{array} {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m+4 \ end{array} right.$
+) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm $-sqrt{{{t}_{1}}};-sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{1}}}$
Ta có: giả thiết $Leftrightarrow left| -sqrt{{{t}_{1}}} right|+left| -sqrt{{{t}_{2}}} right|+left| sqrt{{{t}_{2}}} right|+left| sqrt{{{t}_{1}}} right|=8Leftrightarrow 2left( sqrt{{{t}_{1}}}+sqrt{{{t}_{2}}} right)=8Leftrightarrow sqrt{{{t}_{1}}}+sqrt{{{t}_{2}}}=4$
$Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}+2sqrt{{{t}_{1}}{{t}_{2}}}=16Leftrightarrow 2sqrt{m+4}=16-2mLeftrightarrow sqrt{m+4}=8-mLeftrightarrow left{ begin{array} {} mle 8 \ {} {{m}^{2}}-17m+60=0 \ end{array} right.Leftrightarrow m=5$
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=fleft( x right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của m để đường thẳng $d:y=-m+2$ cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau là
A. $left{ frac{34}{25};frac{7}{4} right}$ B. $left{ frac{34}{25} right}$ C. $left{ frac{7}{4} right}$ D. $left{ 1;2 right}$ |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra $y=fleft( x right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$
PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1=-m+2xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}-2t+m-1=0left( * right)$
Hai đồ thị có 4 giao điểm khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt
Suy ra $Leftrightarrow left{ begin{array} {} {Delta }'(*)>0 \ {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 1-m+1>0 \ {} 2>0 \ {} m-1>0 \ end{array} right.Leftrightarrow 1<m{{t}_{2}}$, 4 nghiệm của PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn sẽ là $-sqrt{{{t}_{1}}};-sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{1}}}$
Theo đề bài ta có $-sqrt{{{t}_{1}}}+sqrt{{{t}_{2}}}=-2sqrt{{{t}_{2}}}Rightarrow sqrt{{{t}_{1}}}=3sqrt{{{t}_{2}}}Leftrightarrow {{t}_{1}}=9{{t}_{2}}Rightarrow left{ begin{array} {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-1 \ {} {{t}_{1}}=9{{t}_{2}} \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} {{t}_{1}}=frac{9}{5};{{t}_{2}}=frac{1}{5} \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=m-1 \ end{array} right.$
$Rightarrow m-1=frac{9}{25}Leftrightarrow m=frac{34}{25}$ . Chọn B.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2(2m+1){{x}^{2}}+4{{m}^{2}}left( C right)$. Các giá trị của tham số thực m để đồ thị $left( C right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=6$là
A. $mge -frac{1}{4}$ B. $m=-frac{1}{4}$ C. $m=1$ D. $m=frac{1}{4}$ |
Lời giải chi tiết
PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là ${{x}^{4}}-2(2m+1){{x}^{2}}+4{{m}^{2}}=0xrightarrow{t={{x}^{2}}}{{t}^{2}}-2(2m+1)t+4{{m}^{2}}=0left( * right)$
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm $Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $left{ begin{array} {} {Delta }’>0 \ {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{(2m+1)}^{2}}-4{{m}^{2}}>0 \ {} 2(2m+1)>0 \ {} 4{{m}^{2}}>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m>-frac{1}{4} \ {} mne 0 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} {{t}_{1}}=x_{1}^{2}=x_{2}^{2} \ {} {{t}_{1}}=x_{3}^{2}=x_{4}^{2} \ end{array} right.$
Khi đó $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=2({{t}_{1}}+{{t}_{2}})=4left( 2m+1 right)=6Leftrightarrow m=frac{1}{4}$ thỏa mãn $left{ begin{array} {} m>-frac{1}{4} \ {} mne 0 \ end{array} right.$ . Chọn D.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-(4m+2){{x}^{2}}+2{{m}^{2}}+1left( C right)$. Có bao nhiêu giá trị của m để $left( C right)$ chia trục hoành thành 4 đoạn phân biệt có độ dài bằng nhau.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 |
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và Ox là ${{x}^{4}}-(4m+2){{x}^{2}}+2{{m}^{2}}+1=0left( 1 right)$
Đặt $t={{x}^{2}}:left( 1 right)Rightarrow {{t}^{2}}-(4m+2)t+2{{m}^{2}}+1=0left( 2 right)$
Để $left( C right)$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>0$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {Delta }’={{left( 2m+1 right)}^{2}}-2{{m}^{2}}-1>0 \ {} S=left( 4m+2 right)>0 \ {} P=2{{m}^{2}}+1>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2{{m}^{2}}+4m>0 \ {} 2m+1>0 \ end{array} right.left( * right)$ .
Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{array} {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4m+2 \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \ end{array} right.$
Khi đó PT (1) có 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là: $-sqrt{{{t}_{1}}};-sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{2}}};sqrt{{{t}_{1}}}$
Ta có: $AB=CD=sqrt{{{t}_{1}}}-sqrt{{{t}_{2}}};BC=2sqrt{{{t}_{2}}}Rightarrow AB=BC=CDLeftrightarrow sqrt{{{t}_{1}}}=3sqrt{{{t}_{2}}}Leftrightarrow {{t}_{1}}=9{{t}_{2}}$
Giải hệ: $left{ begin{array} {} {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=4m+2 \ {} {{t}_{1}}=9{{t}_{2}} \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{t}_{1}}=9.frac{2m+1}{5},{{t}_{2}}=frac{2m+1}{5} \ {} {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \ end{array} right.Rightarrow 9{{left( 2m+1 right)}^{2}}=25left( 2{{m}^{2}}+1 right)$
$Leftrightarrow 7{{m}^{2}}-18m+8=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=2 \ {} m=frac{4}{7} \ end{array} right.left( t/m(*) right)$ . Vậy $m=2,m=frac{4}{7}$ là giá trị cần tìm. Chọn C.