Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị hoặc không có cực trị
Phương pháp giải bài toán tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị (bậc 3)
Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) khi $y’=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta {{‘}_{y’}}>0.$
Hàm số không có cực trị khi $y’=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $Leftrightarrow Delta {{‘}_{y’}}le 0.$.
Bài tập tìm điều kiện để hàm số có/không có cực trị có đáp án
| Bài tập 1: Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+12x+1$ không có cực trị là
A. 3. B. 5. C. 4. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6mx+12=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+4=0text{ }left( * right).$
Để hàm số không có cực trị thì $Delta {{‘}_{left( * right)}}={{m}^{2}}-2le 0Leftrightarrow -2le mle 2.$
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow $ có 5 giá trị của $m$. Chọn B.
| Bài tập 2: Số giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-left( 1-2m right)x+m+2$ có cực đại và cực tiểu là
A. 20. B. 21. C. 10. D. 9. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’={{x}^{2}}+2mx-left( 1-2m right).$
Để hàm số có cực đại và cực tiểu $Leftrightarrow Delta {{‘}_{y’}}={{m}^{2}}+left( 1-2m right)={{m}^{2}}-2m+1={{left( m-1 right)}^{2}}>0Leftrightarrow mne 1.$
Kết hợp $left{ begin{matrix} min left[ -10;10 right] \ min mathbb{Z}text{ } \end{matrix} right.Rightarrow $ có 20 giá trị của $m.$ Chọn A.
| Bài tập 3: Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3left( 1-{{m}^{2}} right)x+1$có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi.
A. $mne 1.$ B. $min mathbb{R}.$ C. $mne 0.$ D. Không tồn tại $m.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6x+3left( 1-{{m}^{2}} right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}=0text{ (1)}text{.}$
Để hàm số có 2 điểm cực trị $Leftrightarrow Delta {{‘}_{y’}}=1-left( 1-{{m}^{2}} right)={{m}^{2}}>0Leftrightarrow mne 0.$ Chọn C.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+left( 2m-1 right){{x}^{2}}-2left( 2-m right)x-2.$ Số giá trị nguyên của tham số $min left[ -20;20 right]$ để hàm số có cực trị là
A. 39. B. 3. C. 38. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=-3{{x}^{2}}+2left( 2m-1 right)x+m-2.$ Để hàm số có cực trị thì $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta {{‘}_{y’}}={{left( 2m-1 right)}^{2}}+3left( m-2 right)>0Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-m-5>0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m>frac{5}{4}text{ } \ m
Kết hợp $left{ begin{matrix} min left[ -20;20 right] \ min mathbb{Z}text{ } \end{matrix} right.Rightarrow $ có 38 giá trị của tham số $m.$ Chọn C.
| Bài tập 5: Số giá trị nguyên dương của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-5$có cực trị là:
A. 3. B. 4. C. 2. D. Vô số. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6x+m.$ Hàm số đã cho có cực trị $Leftrightarrow y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta {{‘}_{y’}}=9-3m>0Leftrightarrow m
Kết hợp $min mathbb{Z}*Rightarrow m=left{ 1;2 right}.$ Chọn C.
| Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+mx-1$ có cực trị.
A. $left[ begin{matrix} m>frac{3}{4} \ mB. $left[ begin{matrix} mge frac{3}{4} \ mle 0 \end{matrix} right..$ C. $mD. $0 |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}+4mx+m.$ Hàm số đã cho có cực trị $Leftrightarrow y’=3{{x}^{2}}+4mx+m$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta ‘=4{{m}^{2}}-3m>0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m>frac{3}{4} \ mChọn A.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y=-2{{x}^{3}}+left( 2m-1 right){{x}^{2}}-left( {{m}^{2}}-1 right)x+2.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
A. 4. B. 5. C. 3. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=-6{{x}^{2}}+2left( 2m-1 right)x-left( {{m}^{2}}-1 right).$
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi $Delta ‘={{left( 2m-1 right)}^{2}}-6left( {{m}^{2}}-1 right)>0Leftrightarrow -2{{m}^{2}}-4m+7>0$ (xét $min mathbb{Z}$) $Leftrightarrow frac{-2-3sqrt{2}}{2}le mle frac{-2+3sqrt{3}}{2}Rightarrow -3,1
| Bài tập 8: Cho hàm số $y=frac{left( m-1 right){{x}^{3}}}{3}+left( m-1 right){{x}^{2}}+4x-1.$ Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại ${{x}_{1}}$, đạt cực đại tại ${{x}_{2}}$đồng thời ${{x}_{1}}A. $mB. $left[ begin{matrix} m5 \end{matrix} right..$ C. $m>5.$ D. [left[ begin{matrix} m=1 \ m=5 \end{matrix} right..] |
Lời giải chi tiết
Với $m=1$ ta có $y=4x-1$ hàm số đã cho không có cực trị.
Với $mne 1$ ta có: $y’=left( m-1 right){{x}^{2}}+2left( m-1 right)x+4$
Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại ${{x}_{1}}$, đạt cực đại tại ${{x}_{2}}$đồng thời
${{x}_{1}}Chọn A.
| Bài tập 9: Cho hàm số $y=frac{m{{x}^{3}}}{3}-left( m+1 right){{x}^{2}}+3left( m+1 right)x+1.$ Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{1}}$ và cực tiểu tại ${{x}_{2}}$sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}.$
A. $-1 |
Lời giải chi tiết
Với $m=0Rightarrow y=-{{x}^{2}}+3x+1$ không thỏa mãn có 2 điểm cực trị.
Với $mne 0$. Ta có: $y’=m{{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+3left( m+1 right).$ Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{1}}$ và cực tiểu tại ${{x}_{2}}$sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}Leftrightarrow left{ begin{matrix} a=frac{m}{3}0 \end{matrix} right.Leftrightarrow -1