Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x=x0.
Phương pháp giải cực trị hàm bậc ba tại điểm
Bài toán 1: Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$
Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}Rightarrow left{ begin{matrix} Delta {{‘}_{y’}}>0text{ } \ y’left( {{x}_{0}} right)=0 \end{matrix} right..$
Bài toán 2: Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm $x={{x}_{0}}.$
Hàm số đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ ta suy ra $y’left( {{x}_{0}} right)=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số $m$.
Với giá trị của tham số $m$ tìm được ta tính $y”left( {{x}_{0}} right)$ để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận.
Bài tập tìm điều kiện để hàm bậc 3 đạt cực trị tại điểm x=x0
| Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx-2.$ Giá trị của $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2$ là
A. $m=-4.$ B. $m=4.$ C. $m=2.$ D. Không tồn tại $m.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-4x+m.$
Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta {{‘}_{y’}}=4-3m>0text{ } \ y’left( 2 right)=4+m=0text{ } \end{matrix} right.Leftrightarrow m=-4.$ Chọn A.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx+2.$ Giá trị của $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1$ là
A. $m=-2.$ B. $m=-1.$ C. $m=1.$ D. Không tồn tại $m.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’={{x}^{2}}+2x+m.$
Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta {{‘}_{y’}}=1-m>0text{ } \ y’left( -1 right)=m-1=0text{ } \end{matrix} right.Leftrightarrow m=varnothing .$ Chọn D.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+left( m+9 right)x-1.$ Biết hàm số có một cực trị tại $x=2$. Khi đó điểm cực trị còn lại của hàm số là
A. 1. B. 3. C. $-1.$ D. $-3.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=6{{x}^{2}}-6mx+m+9.$ Cho $y’left( 2 right)=24-12m+m+9=0Leftrightarrow m=3.$
Với $m=3Rightarrow y’=6{{x}^{2}}-18x+12=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=2 \ x=1 \end{matrix}. right.$ Chọn A.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+nx+1left( C right).$ Giá trị của $2m+n$ biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $Aleft( 2;7 right)$ là:
A. 21. B. 22. C. 23. D. 20. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-2mx+nRightarrow y’left( 2 right)=-4m+n+12=0Leftrightarrow 4m-n=12$
Mặt khác $Aleft( 2;7 right)in left( C right)$ nên $x=2Rightarrow y=7$ nên ta có $8-4m+2n+1=7Leftrightarrow 4m-2n=2$
Khi đó $m=frac{11}{2};n=10Rightarrow y’=3{{x}^{2}}-11x+10Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=2 \ x=frac{5}{3} \end{matrix} right.Rightarrow $ Hàm số có hai điểm cực trị.
Vậy $m=frac{11}{2};n=10Rightarrow 2m+n=21.$ Chọn A.
| Bài tập 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+nx-2.$ Giá trị của $3m+n$ biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $Aleft( -1;4 right)$ là:
A. $-15.$ B. 15. C. $-frac{37}{3}.$ D. Không tồn tại $m.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}+6mx+n.$ Cho $y’left( -1 right)=3-6m+n=0Leftrightarrow 6m-n=3.$
Mặt khác đồ thị hàm số qua$Aleft( -1;4 right)$ nên $4=-1+3m-n-2Leftrightarrow 3m-n=7$
Do đó $left{ begin{matrix} 6m-n=3 \ 3m-n=7 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} m=frac{-4}{3} \ n=-11 \end{matrix} right.Rightarrow y’=3{{x}^{2}}-8x-11=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=-1 \ x=frac{11}{3} \end{matrix} right.$ (thỏa mãn có 2 điểm cực trị).
Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-frac{1}{2}left( 2m-4 right){{x}^{2}}+left( {{m}^{2}}+4m+3 right)x+1$ ($m$là tham số). Tìm $m$để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2.$
A. $m=1.$ B. $m=-2.$ C. $m=-1.$ D. $m=2.$ |
Lời giải chi tiết
$y’={{x}^{2}}-left( 2m+4 right)x+{{m}^{2}}+4m+3$
Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2$ thì [{{2}^{2}}-left( 2m+4 right).2+{{m}^{2}}+4m+3=0Leftrightarrow {{m}^{2}}=1Leftrightarrow m=pm 1]
Với $m=1$ thì $y’={{x}^{2}}-6x+8Rightarrow y”=2x-6Rightarrow y”left( 2 right)=-20Rightarrow {{x}_{0}}=2$ là điểm cực tiểu.
Vậy $m=1$ là điểm cần tìm. Chọn A.
| Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+left( {{m}^{2}}-m+1 right)x+1$ đạt cực đại tại $x=1.$
A. $m=-1.$ B. $m=1.$ C. $m=2.$ D. $m=-2.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $y’={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1;y”=2x-2m$
Để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ thì $y’left( 1 right)={{m}^{2}}-3m+2=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=1 \ m=2 \end{matrix} right..$
Với $m=1Rightarrow y”left( 1 right)=0Rightarrow x=1$ không phải điểm cực đại.
Với $m=2Rightarrow y”left( 1 right)=-2Chọn C.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y=-18{{x}^{3}}+9left( {{m}^{2}}+1 right){{x}^{2}}+6left( 2-3m right)x+2019$ với$m$là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$để hàm số đạt cực tiểu tại $x=frac{1}{3}.$
A. $m=2.$ B. $m=-1.$ C. $m=1.$ D. $m=-2.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $y’=-54{{x}^{2}}+18left( {{m}^{2}}+1 right)x+6left( 2-3m right),y”=-108x+18left( {{m}^{2}}+1 right).$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=frac{1}{3}$ khi đó $y’left( frac{1}{3} right)=0Leftrightarrow -6+6left( {{m}^{2}}+1 right)+6left( 2-3m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=2text{ } \ m=-1 \end{matrix} right..$
TH1: Với $m=-1Rightarrow y’left( frac{1}{3} right)=0Rightarrow x=frac{1}{3}$ không phải điểm cực tiểu của hàm số.
TH2: Với $m=2Rightarrow y’left( frac{1}{3} right)=54>0Rightarrow x=frac{1}{3}$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Suy ra với $m=2$ thỏa mãn đề bài. Chọn A.
| Bài tập 9: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+2.$ Giá trị của $m$để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ là:
A. $m=-1.$ B. $m=3.$ C. $left[ begin{matrix} m=-1 \ m=3text{ } \end{matrix} right..$ D. $left[ begin{matrix} m=1text{ } \ m=-3 \end{matrix} right..$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $y’=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}.$ Cho [y’left( -1 right)=-3-2m+{{m}^{2}}=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=-1 \ m=3text{ } \end{matrix} right..]
Với $m=3Rightarrow y”=-6x+2m=-6x+6Rightarrow y”left( -1 right)=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$
Với $m=-1Rightarrow y”=-6x+2m=-6x-2Rightarrow y”left( -1 right)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$
Chọn C.
| Bài tập 10: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+1.$ Giá trị của $a+b$để hàm số đạt cực trị tại các điểm$x=1$ và $x=-2$ là:
A. $frac{-9}{2}.$ B. $frac{9}{2}.$ C. $frac{15}{2}.$ D. $frac{-15}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $y’=3{{x}^{2}}+2ax+b.$ Cho $left{ begin{matrix} y’left( 1 right)=3+2a+b=0text{ } \ y’left( -2 right)=12-4a+b=0 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} a=frac{3}{2}text{ } \ b=-6 \end{matrix} right.Rightarrow a+b=frac{-9}{2}.$ Chọn A.
| Bài tập 11: Cho biết hàm số $y=fleft( x right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ đạt cực tiểu tại điểm$x=1,fleft( 1 right)=-3$ và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Tính giá trị của hàm số tại $x=-2.$
A. $fleft( -2 right)=16.$ B. $fleft( -2 right)=24.$ C. $fleft( -2 right)=2.$ D. $fleft( -2 right)=4.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $f’left( x right)=3{{x}^{2}}+2ax+b.$
Theo đề bài ta có $left{ begin{matrix} f’left( 1 right)=0text{ } \ fleft( 1 right)=-3text{ } \ fleft( 0 right)=2text{ } \ f”left( 1 right)=6+2a>0 \end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix} 3+2a+b=0text{ } \ 1+a+b+c=-3 \ c=2text{ } \ a>-3text{ } \end{matrix} right. right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} a=3text{ } \ b=-9 \ c=2text{ } \end{matrix} right.Rightarrow fleft( x right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+2$
$Rightarrow fleft( -2 right)=24.$ Chọn B.
| Bài tập 12: [Đề thi thử nghiệm 2017] Biết $Mleft( 0;2 right),Nleft( -2;2 right)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tính giá trị tại điểm $x=-2$.
A. $yleft( -2 right)=2.$ B. $yleft( -2 right)=22.$ C. $yleft( -2 right)=6.$ D. $yleft( -2 right)=-18.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $y’=3{{x}^{2}}+2bx+c.$
Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0;x=2Rightarrow left{ begin{matrix} y’left( 0 right)=c=0text{ } \ y’left( 2 right)=12a+4b=0 \end{matrix} right.(1)$
Lại có $M,Nin left( C right)Rightarrow left{ begin{matrix} yleft( 0 right)=d=2text{ } \ yleft( 2 right)=8a+4b+c+2 \end{matrix} right.(2).$
Từ (1) và (2)$Rightarrow left{ begin{matrix} c=0,d=2 \ a=1,b=-3 \end{matrix} right.Rightarrow y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2.$ Do đó $yleft( -2 right)=-18.$ Chọn D.
| Bài tập 13: Biết đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có các điểm cực trị $Eleft( 0;-4 right)$ và $Fleft( -1;-3 right)$. Tính giá trị hàm số tại điểm $x=-2$.
A. $yleft( -2 right)=-8.$ B. $yleft( -2 right)=-6.$ C. $yleft( -2 right)=-4.$ D. $yleft( -2 right)=-2.$ |
Lời giải chi tiết
Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, ta có $y’=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Điểm $Eleft( 0;-4 right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $Rightarrow left{ begin{matrix} y’left( 0 right)=0text{ } \ yleft( 0 right)=-4 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} c=0text{ } \ d=-4 \end{matrix} right.(1).$
Điểm $Fleft( -1;-3 right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $Rightarrow left{ begin{matrix} y’left( -1 right)=0text{ } \ yleft( -1 right)=-3 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 3a-2b=0text{ } \ -a+b-4=-3 \end{matrix} right.(2).$
Từ (1) và (2) suy ra $a=2,b=3,c=0,d=-4Leftrightarrow y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4Rightarrow yleft( -2 right)=-8.$ Chọn A.